Интегральное уравнение связимежду статистическими характеристиками на входе и выходе линейных систем

Спектральная плотность и корреляционная функция ошибки управления зависят от спектральной плотности и корреляционной функции входного сигнала, а также от структуры и параметров системы управления. Поэтому для определения среднего квадрата ошибки следует найти корреляционную функцию через спектральную плотность S_z() ошибки по известным статистическим характеристикам входного сигнала через и характеристикам (структуре и параметрам) системы.

Чтобы решить данную задачу, необходимо рассмотреть уравнение связи между статистическими характеристиками на входе и выходе линейных систем.

Для этого определим связь корреляционной функции на выходе с корреляционной функцией на входе при воздействии на стационарную систему одной реализации случайного процесса x_T(t).

Если задан сигнал на входе системы x(t) и известна импульсная переходная функция системы k_yx(t), то выходную величину находят с помощью интеграла свертки:

. (1.53)

Пусть — реализация некоторой случайной функции на входе системы. Тогда сигнал на выходе согласно интегралу свертки

. (1.54)

Соответственно

, (1.55)

Имея в виду, что корреляционная функция на выходе системы может быть записана в виде выражения

,

И, подставляя сюда найденные значения (1.54) и (1.55) получим

.

Меняя порядок интегрирования, найдем

.

Выражение

представляет собой корреляционную функцию сигнала на входе системы, т.е.

.

Итак, связь корреляционной функции выходной величины с корреляционной функцией входной величины и импульсной переходной функцией характеризирующей динамические свойства системы, можно представить интегральным выражением

. (1.56)

В ряде случаев бывает нужно определить не коррекционную функцию на выходе системы, а только квадрат выходной величины при ее дисперсию. Подставляя в выражение (1.56) значение , получим

. (1.57)

Формула (1.57) сравнительно сложна (далее будет определена более простая формула для вычисления через спектральные плотности).

Данное выражение упрощается, если воздействие будет иметь характер белого шума, корреляционная функция которого

, (1.58)

При .

Подставляя (1.58) в выражение (1.57), получим

. (1.59)

Согласно основному свойству -функции

. (1.60)

Следовательно,

. (1.61)

Итак,

(1.62)

Имея в виду, что , можно принять нижний предел равным 0, и, следовательно,

. (1.63)

Таким образом, установившееся значение дисперсии на выходе системы при подаче на вход белого шума характеризуется интегральной квадратической оценкой импульсной переходной функции системы.

Полученное выражение лежит в основе определения СКО аналитическим путем и с помощью электронных моделей.

Когда случайная функция не является центрированной, т. е. математическое ожидание т_х случайной функции x(t) на входе системы отлично от нуля, то, помимо дисперсии на выходе D_v, необходимо найти математическое ожидание т_у по формуле

.* (1.64)

Это означает, что математические ожидания при прохождении случайных функций через линейные системы преобразуются как неслучайные функции.

Если на систему действует п входных сигналов ..., , то на основании принципа суперпозиции выходную величину можно представить выражением

. (1.65)

Соответственно корреляционную функцию выходного сигнала R_v(x) при всех п статистически независимых стационарных случайных R_xk() сигналах (аддитивная смесь) и известных их корреляционных функциях можно найти как сумму корреляционных функций, обусловленных каждой из составляющих сигналов:

. (1.65а)

Дисперсия для случая статистически независимых выходных сигналов определяется из выражения (1.65а):

(1.65б)

Или

, (1.65в)

Т.е. дисперсия выходной величины равна сумме дисперсий обусловленных каждым входным воздействием в отдельности.

Если на входе САУ имеется несколько статистически связанных сигналов, то интегральное уравнение связи значительно усложняется. Появляются члены, которые содержат взаимные корреляционные функции. Корреляционную функцию выходной величины по извест­ным корреляционным и взаимным корреляционным функциям входных величин можно определить по формуле.

(1.65г)

Если все входные функции статистически независимы, то в (1.65г) члены с разными индексами будут равны 0 и получится выражение (1.65а).

Ранее приведены соотношения (1.56, 1.57, 1.63, 1.64) для определения характеристик стационарных случайных интервалов на выходе системы. В общем случае при приложении на вход системы с постоянными параметрами стационарного случайного сигнала выходной случайный процесс до наступления установившегося режима будет нестационарным (математическое ожидание и дисперсия изменяются во времени).

Определение реакции системы на случайный входной сигнал с учетом нестационарности выходного случайного процесса можно производить при известной импульсной переходной функции по следующим формулам:

Где t и t’ значения двух моментов времени.

В случае действия белого шума дисперсия выходного сигнала

.

Из (1.63) следует, что для уменьшения дисперсии сиг­нала на выходе системы, вызванного белым шумом на входе, необходима минимизация площади под кривой квадрата импульсной переходной функции в интервале времени от 0 до . Это достигается соответствующим подбором параметров системы.

Пример 1.1. Система представляет собой апериоди­ческое звено, для которого импульсная переходная функция

,

а входной сигнал имеет постоянное математическое ожи­дание и дисперсию D_x(t)=D_x. Корреляцион­ная функция

.

Необходимо определить математическое ожидание и дисперсию на выходе апериодического звена.

Математическое ожидание m_y(t) можно найти из уравнения (1.64):

.

Полученное выражение сходно с выражением, опре­деляющим реакцию апериодического звена на постоян­ный входной сигнал, роль которого в данном случае иг­рает математическое ожидание т_х случайного входного сигнала x(t).

Для определения корреляционной функции на выходе периодического звена заметим, что по условиям, задачи

Интегрирование корреляционной функции в пределах изменения от до можно разбить на два интервала: от до и от до .

Итак,

После преобразований будем иметь

.

При t' = t из последнего выражения получим дисперсию выходного сигнала

.

Как следует из данного выражения, дисперсия сигнала на выходе апериодического звена пропорциональна дисперсии входного сигнала, пропорциональна квадрату коэффициента преобразования звена k, является функ­цией времени. По истечении достаточно большого проме­жутка времени ( и , но ) выражение для корреляционной функции будет иметь вид

,

а установившееся значение дисперсии ( = 0).

.

Таким образом, с течением времени дисперсия выходного сигнала принимает постоянное установившееся значение.

Дисперсия на выходе D_v тем меньше, чем больше постоянная времени Т апериодического звена. Следовательно, с помощью апериодического звена можно ослабить действие помехи.

Дата добавления: 2015-07-15