Эргодические случайные процессы

Существуют стационарные процессы, которые обладают свойством эргодичности: статистические характеристики, полученные осреднением по времени одной реализации (в достаточно большом интервале наблюдения), приближенно совпадают с характеристиками, полученными осреднением по множеству реализаций при фиксированном времени). Это положение основано на том, что раз статистические характеристики стационарного случайного процесса с течением времени не меняются, то наблюдение случайного процесса на одном объекте в течение длительного времени дает в среднем такую же картину, как и значительное число наблюдений, проведенных в один и тот же момент времени на большом числе объектов одного типа. Иными словами, отдельная реализация процесса на бесконечном промежутке времени полностью определяет весь случайный процесс с его бесчисленными реализациями. Следовательно, для определения статистических характеристик можно ограничиться одним опытом, проводимым в течение достаточно большого интервала времени, т.е. ограничиться обработкой одной реализации вместо множества опытов, необходимых для определения характеристик процесса, не обладающего свойствами эргодичности. Стационарная случайная функция эргодична, если ее корреляционная функция неограниченно убывает по модулю при .

Свойство эргодичности весьма важно для решения практических задач. Многие стационарные случайные процессы, встречающиеся на практике, обладают свойством эргодичности.

Однако надо иметь в виду, что не всякая стационарная случайная функция является эргодической. Например, случайная функция, каждая реализация которой постоянна во времени, является стационарной, но не эргодической.

В этом случае математические ожидания, определенные по одной реализации и в результате обработки множества реализаций, не совпадают (рис. 1.5, в).

Основные статистические характеристики стационарной случайной функции , обладающей эргодическим свойством, определяются следующими выражениями.

Математическое ожидание, или среднее значение

, (1.22)

где - усреднение по множеству реализаций;

- усреднение по времени одной реализации (при достаточно большом Т);

- реализация стационарного случайного процесса, взятого на интервале , а вне этого интервала равная 0.

Выражение (1.22) означает, что для процесса, обладающего эргодическими свойствами, среднее по множеству реализаций равно среднему по времени для одной реализации. Чем больше интервал , тем точнее можно определить математическое ожидание.

Дисперсия случайной функции

. (1.23)

Корреляционная функция, характеризующая связь между значениями случайной функции в моменты и , может быть определена для стационарного эргодического процесса по одной его реализации, как среднее по времени от произведения случайных функций и , сдвинутых относительно друг друга на определенный промежуток времени (рис. 1.5):

(1.24)

Если , то корреляционная функция равна дисперсии случайной функции:

, (1.25)

Корреляционная функция является более общей характеристикой случайного процесса, чем дисперсия, так как дисперсия отображает только начальную ординату графика корреляционной функции. Для многих случайных процессов при очень малых вероятность того, что значение функции мало отличается от значения , близка к единице, т.е. близка к достоверности. По мере увеличения связь между значениями и ослабевает, они делаются взаимно независимыми и функция стремится к нулю.

Рис. 1.6. Кривая корреляционной функции одного из случайных стационарных процессов (а) и примерный вид нормированной корреляционной функции флуктуаций, отраженных от цели сигналов (б)

Для оценки свойств корреляционных функций иногда вводят понятие времени корреляции.

Интервал времени между двумя сечениями и , начиная с которого можно практически считать некоррелированными случайны величины и , называют временем корреляции ; . Иными словами время корреляции – это отрезок на оси , за пределами которого корреляционная функция практически равна нулю. На рис. 1.6, а приведена кривая одного из случайных стационарных процессов, а на рис. 1.6, б – корреляционная функция сигнала на входе системы автосопровождения цели. В последнем случае по оси ординат на графике отложено нормированное значение корреляционной функции . Нормализация позволяет сопоставлять независимо от того, равны или отличаются среднеквадратические значения. Очевидно, что и .

Время корреляции может быть определено из условия, что значения нормированной корреляционной функции становятся при меньше достаточно малого числа , например или .

Взаимная корреляционная функция двух случайных, но взаимно зависимых процессов определяется по формуле, аналогичной (1.24):

.

Дата добавления: 2015-07-15