Функции распределения и плотности вероятности

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ САУ

В статистический анализ линейных САУ при заданных структуре (передаточной функции), параметрах и известных статистических характеристиках сигналов входят:

а) оценка величины среднеквадратических потерь управления, т.е. СКО управления;

б) получение аналитических зависимостей, связывающих величину СКО с основными параметрами САУ. Такие зависимости дают необходимую информацию о том, как нужно выбирать параметры системы, чтобы обеспечить заданные или минимально возможные потери управления;

в) определение спектра флуктуации выходной величины САУ, находящейся под воздействием случайных сигналов, и его зависимости от параметров САУ и воздействий. Эта задача играет важную роль при согласовании характеристик системы с последующими автоматическими устройствами.

§1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССАХ

Статистические характеристики случайных процессов

Функции распределения и плотности вероятности

Будем полагать в общем случае, что помехи и задающие воздействия – это случайные функции времени.

Случайной функцией некоторой независимой переменной называют такую функцию , значение которой при любом заданном t является случайной величиной.

Так как процессы в САУ протекают во времени, будем рассматривать случайные функции одного аргумента-времени t. Случайные функции, для которых независимой переменной является время t, обычно называют случайными или стохастическими процессами.

Случайность процесса проявляется в том, что вид функции случайным образом меняется от одного опыта к другому. Функция, получаемая в результате

Рис. 1.1. Отдельные реализации случайной функции времени

каждого отдельного опыта, неслучайна, поскольку закон ее известен; называют реализацией случайной функции. Случайный процесс – это не есть определенная кривая . Совокупность всех реализаций, т.е. множество кривых, представляет собой случайную функцию, или случайный процесс. Если график семейства реализаций случайной функции (рис. 1.1) рассечь вертикальной линией, то получим случайную величину для заданного момента времени .

Значения случайной функции заранее неизвестны. Но существуют определенные вероятности того, что в данный момент времени случайная функция будет находиться в определенных пределах.

Для характеристики случайной функции служат моменты случайной функции, или ее многомерные функции распределения вероятности и плотности вероятности.

Под функцией распределения вероятности, часто называемой интегральным законом распределения, понимают вероятность того, что случайная величина примет значение меньше некоторого фиксированного значения.

Производная от функции распределения вероятности носит название плотности вероятности или дифференциального закона распределения.

Одномерная функция распределения вероятности, относящаяся только к одному какому-либо сечению случайной функции,

(1.1)

показывает вероятность того, что текущее значение случайной функции в момент времени меньше заданной величины .

Соответственно, одномерная плотность вероятности есть производная от интегрального распределения вероятности , т.е.

(1.2)

Величина

выражает вероятность того, что случайная функция в момент времени находится в интервале от до .

Рассмотрим теперь всевозможные пары значений x, полученные в два разных момента времени: и .

Двумерное распределение вероятности

(1.3)

относится к двум произвольным сечениям случайной функции и выражает вероятность того, что в момент времени случайная функция меньше , а в момент - меньше .

Соответствующая двумерная плотность вероятности

. (1.4)

Можно рассматривать n-мерное распределение вероятности, охватывающее n сечений и n-мерную плотность вероятности, n-мерная плотность вероятности полнее характеризует процесс, чем любая плотность вероятности меньшего порядка.

Многомерные законы распределения случайных процессов являются сравнительно громоздкими характеристиками и с ними крайне трудно оперировать на практике. Поэтому при исследовании законов распределения случайных процессов часто ограничиваются случаями, когда для характеристики достаточно знать одномерный или двумерный закон распределения.

Некоторые типы случайных процессов полностью характеризуются одномерными или двумерными плотностями вероятности. Например, так называемый чисто случайный процесс или белый шум полностью характеризуется одномерной плотностью вероятности.

Значения в этом процессе, взятые в различные моменты времени совершенно независимы друг от друга. Вероятность совпадения событий, заключающихся в нахождении между и в момент и между и в момент , равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Поэтому

(1.5)

т.е. все плотности вероятности определяются из одномерной.

Двумерной плотностью вероятности полностью характеризуется марковский случайный процесс, т.е. процесс, для которого вероятность нахождения в заданном интервале от до в момент зависит только от состояния в предшествующий момент и не зависит от состояния в другие ранее предшествующие моменты времени. Это случайный процесс, без последствия.

Для марковского процесса

.

Процессы, происходящие в САУ, не являются в общем случае марковскими, однако с их помощью могут решаться частные задачи, в которых для полной характеристики случайного процесса достаточно знать только двумерные законы распределения (определение вероятности выхода ординаты случайной функции за данные пределы и др.).

Для оценки точности линейных САУ при решении многих прикладных задач достаточно знать первые два момента процесса: математическое ожидание и корреляционную функцию.

Эти характеристики являются неслучайными функциями или величинами и представляют собой результат вероятностного усреднения различных функций случайных процессов.

Свойства стохастических процессов, определяемые двумя первыми моментами, изучаются с помощью корреляционной теории. Кроме корреляционного анализа, основанного на прямом рассмотрении случайных сигналов во времени, существует также метод, основанный на рассмотрении частотных составляющих случайных сигналов,- спектральный анализ.

Корреляционный и спектральный анализ широко используются в инженерной практике.

Дата добавления: 2015-07-15