Некоторые свойства корреляционных функций и спектральных плотностей стационарных эргодических случайных процессов

1. Начальное значение корреляционной функции всегда превышает ее значение в любой другой момент времени :

, (1.36)

причем

. (1.37)

2. Предельное значение корреляционной функции при равно квадрату математического ожидания:

.

Это означает, что в бесконечно удаленные друг от друга моменты времени значения случайной функции можно считать независимыми и корреляционная функция будет отличаться от 0 только за счет присутствия детерминированной постоянной составляющей в виде математического ожидания . Для центрированного случайного процесса

.

3. Корреляционная функция стационарного случайного процесса есть четная функция :

. (1.38)

Поэтому на графиках корреляционная функция всегда симметрична относительно оси координат.

Корреляционная функция симметрична относительно переменных , т.е.

. (1.39)

4. Если случайная функция содержит периодическую составляющую, то корреляционная функция также содержит периодическую составляющую той же частоты. Например, для регулярной функции получим

, (1.40)

т.е. корреляционная функция синусоидальной функции представляет собой косинусоиду и не зависит от сдвига фазы (рис. 1.7, а).

5. Кривая корреляционной функции , характеризующая отраженные от подвижного объекта сигналы, располагается тем круче, чем менее инерционен объект. Например, для маневрирующего самолета связь между последующими и предыдущими положениями будет тем слабее, чем он легче и маневреннее. Можно сказать, что корреляционная функция характеризует инерционность системы, находящейся под воздействием случайных возмущений.

Чем быстрее убывает , тем более высокие частоты будут содержаться в случайном процессе.

6. Случайный процесс без периодической составляющей имеет кривую корреляционной функции вида рис. 1.7, б, а с периодической составляющей – соответственно вида рис. 1.7, в.

Рис. 1.7. Кривые корреляционных функций:

а – периодического процесса; б - случайного процесса без периодической составляющей;

Дата добавления: 2015-07-15