Спектральная плотность стационарного эргодического случайного процесса

При статистическом анализе САУ для процессов типа стационарных случайных функций удобно пользоваться спектральной плотностью случайной функции, т.е. двусторонним изображением Фурье* корреляционной функции

, (1.26)

Где является оригиналом, а изображением Фурье. Учитывая, что

,

А и вещественные четные функции, получим

. (1.27)

Спектральная плотность является положительной функцией во всем диапазоне частот то 0 до . Она не содержит сведений о фазах отдельных гармонических составляющих, так же как и сама корреляционная функция не несет информации о фазе.

Если известна спектральная плотность случайной функции, то, пользуясь обратным преобразованием Фурье, можно получить корреляционную функцию

. (1.28)

С помощью соотношений (1.26) и (1.28) можно определить спектральную плотность по заданной аналитически или в виде графика корреляционной функции или наоборот – корреляционную функцию по заданной спектральной плотности. Например, заменив кривую ломанной прямой или кусками экспонент и произведя интегрирование по участкам (рис. 1.6, а), по формуле (1.26) можно определить спектральную плотность. Замена нижнего предела интеграла на нуль вместо в выражениях (1.27) и (1.28) с одновременным уменьшением в два раза интервала усреднения возможна потому, что корреляционная функция и спектральная плотность являются четными функциями.

Спектральная плотность может быть получена и непосредственно по реализации без предварительного вычисления корреляционной функции. Взаимное преобразование Фурье

,

Где - текущий спектр процесса ,

,

связывает между собой вещественную функцию времени и комплексную функцию частоты , модуль которой называют спектральной плотностью амплитуд или амплитудной спектральной плотностью. Последняя в свою очередь позволяет получить величину (см. формулу 1.31).

Физический смысл спектральной плотности может быть понятен из следующих рассуждений.

Средняя мощность стационарного случайного процесса, например, в виде электрического тока, выделяемого на сопротивлении в 1 ом, за время 2Т может быть выражена формулой

. (1.29)

Если увеличивать интервал наблюдения 2Т до бесконечных пределов интегрирования по времени можно перейти к интегрированию по спектру (см. формулу Парсеваля) [6]:

. (1.30)

Внесем операцию определения предела в правой части под знак интеграла и введем обозначение подынтегральной функции:

. (1.31)

Подставляя (1.31) в соотношение (1.30), получим

. (1.32)

Интеграл в левой части характеризует мощность во всем возможном диапазоне частот.

Поэтому каждая элементарная составляющая вида соответствует мощности в бесконечно узкой полосе частот , а коэффициент - крутизне нарастания мощности по частоте:

, (1.33)

или плотности мощности в спектре.

В отличие от амплитудной спектральной плотности , определяющей плотность амплитуд составляющих на участке спектра , спектральная плотность характеризует распределение мощности составляющих в интервале частот .

Размерность спектральной плотности [х²*сек], где х – размерность процесса.

Иногда записывают приближенно

. (1.34)

Если случайные процессы и стационарны и стационарно связаны, то их взаимная спектральная плотность

, (1.35)

где - функция, комплексно сопряженная с функцией .

Дата добавления: 2015-07-15