Корреляционная функция и спектральная плотность скорости изменения азимута маневрирующей цели

Рассмотрим корреляционную функцию и спектральную плотность случайного процесса, имеющего место на входе системы автоматического сопровождения цели.

Подобный сигнал представлен на рис. 1.10, а. Он характеризует изменение углового перемещения самолета — угловой координаты цели ( t) относительно системы мы сопровождения радиолокатора. На рис. 1.10, а видно что кривая x(t )= ( t) не является стационарным случайным процессом.

Рис. 1.10. Изменения угловой координаты маневрирующей цели (а) и ее производной (б)

Однако поведение цели можно представить так, будто угловая скорость движения цели в течение некоторого интервала времени остается постоянной, затем скачком меняется и на следующем интервале так и остается постоянной (рис. 1.10,б). При этом моменты скачков и значений скоростей – случайные величины. Такая картина соответствует движению цели в направлении на радиолокатор и идеализированному маневре ее в горизонтальной плоскости (мгновенное изменение курса).

Значения функции в любых двух интервалах взаимно независимы, но имеют одинаковые функции распределения вероятности.

Стационарный случайный процесс в данном случае может быть определен так:

при , (1.43)

где - независимые случайные переменные, имеющие одинаковое распределение вероятности.

Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения:

(1.44)

Возможны два случая.

Если моменты времени t и t+ таковы, что величины и находятся в одном интервале , то среднее значение произведения угловых скоростей равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:

(1.45)

Если t и t+ таковы, что эти величины лежат в разных интервалах, то искомое произведение скоростей равно нулю:

, (1.46)

Так как произведения с положительными и отрицательными знаками равновероятны.

В результате корреляционная функция

(1.47)

Где - вероятность нахождения значений скорости и в одном интервале;

- вероятность нахождения их в разных интервалах.

Обозначим через среднее число перемен скорости за 1 сек. Тогда будет средним значением интервала времени, в течение которого угловая скорость составляет постоянную величину. Будем полагать, что вероятность появления перемены скорости в течение малого промежутка времени пропорциональна этому промежутку и равна . Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же промежутка .

Для интервала времени вероятность отсутствия перемены скорости, т.е. вероятность нахождения моментов времени t и t+ в одном интервале постоянной скорости, равна произведению вероятностей отсутствий перемены скорости в каждом элементарном промежутке , так как эти события независимы.

Следовательно, для конечного промежутка

, (1.48)

Где - среднее количество промежутков .

Переходя к пределу и при , получим

. (1.49)

Функцию распределения (1.49) называют распределением Пуассона.

Таким образом, искомая корреляционная функция

, (1.50)

Т.е. оказывается экспоненциально затухающей.

Спектральная плотность для рассматриваемого процесса

, (1.51)

Где - средний квадрат угловой скорости;

- средняя длина промежутков времени, в течение которых скорость остается неизменной.

Величину находят экспериментально на основании изучения распределения угловых скоростей слежения за самолетом, а - путем определения средней продолжительности прямолинейного движения маневрирующего самолета.

Дата добавления: 2015-07-15