Случайные процессы с нормальным законом распределения

При исследовании САУ, в измерительной технике, в теории стрельбы часто приходится встречаться со случайными процессами, характеризующимися нормальным, или Гауссовым законом распределения.

Гауссов закон распределения полностью определяется математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением.

Плотность вероятности для нормального закона распределения выражается зависимостью

, (1.17)

где - дисперсия;

- среднеквадратическое отклонение;

- математическое ожидание (среднее значение)

А функция распределения определяется формулой

. (1.17а)

Анализ показывает, что такое распределение возникает всякий раз, когда случайная величина характеризует собой суммарный эффект большого числа независимых причин, имеющих любые распределения, каждое из которых оказывает сравнительно малое влияние на общее значение . Такое условие во многих практических случаях приближенно удовлетворяется.

Прохождение случайных процессов с нормальным законом распределения через любую динамическую систему с постоянными параметрами изменяет математическое ожидание, дисперсию и другие характеристики, но закон распределения процесса по-прежнему остается нормальным. Это свойство устойчивости нормального закона распределения является важным при исследовании САУ.

Для случайных процессов с нормальным законом распределения математическое ожидание

или, если произвести замену переменной

.

Второй из суммы интегралов последнего выражения равен нулю как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах. Тогда получим

,

т.е. параметр является математическим ожиданием случайного процесса, имеющего нормальный закон распределения.

Дисперсия нормального закона распределения

.

Делая замену переменных

,

получаем

.

Но интеграл

,

поэтому

.

Таким образом, параметр в выражении плотности нормального закона распределения (1.17) есть среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Следовательно, если представляет собой плотность вероятности нормального случайного процесса со средним значением и среднеквадратическим отклонением , то ее можно записать в виде формулы (1.17).

Для встречающихся в автоматическом управлении гауссовых процессов среднее значение часто равно нулю, так что плотность вероятности в этом случае описывается выражением

(1.18)

Кривая плотности вероятности рис. 1.3 показывает, что случайная величина предпочтительнее принимает значения, близкие к среднему значению : вероятность нахождения в полосе с центром составляет 68%, а в полосе с тем же центром – 90%. Эти вероятности равны соответствующим площадям под кривой . Площадь всей кривой равна единице (100%).

Чем меньше среднеквадратическое отклонение , тем при сохранении площади

Рис. 1.3. Кривая плотности Рис. 1.4. Зависимость кривой

Дата добавления: 2015-07-15