Экспериментальное определение корреляционных функций, спектральных плотностей и дисперсий случайных процессов

Для определения корреляционной функции по экспериментальной реализации случайной функции можно воспользоваться приближенной формулой

. (1.52)

Точность приближения зависит от интервала наблюдения T. Заменив интеграл (1.52) суммой, можно вычислить . Для вычисления корреляционной функции осциллограмму случайного процесса представляют в виде отрезков ординат, отстоящих друг от друга на расстоянии (рис 1.12). Тогда отдельные точки корреляционной функции как среднее значение попарных произведений ординат кривой реализации, отстоящих на интервал , могут быть подсчитаны с помощью выражений:

,

,

,

………………………………………

.

Измерение корреляционной функции производят с помощью приборов-корреляторов, в которых наиболее часто используется принцип перемножения значений случайного процесса, разделенных интервалом времени .

Рис. 1.12 К определению корреляционной функции

Помимо перемножающего устройства 2 (рис. 1.13), приборы этого типа содержат элемент 1 с регулируемой выдержкой , сглаживающее устройство 3 и регистрирующее устройство. Выходная величина с множительного устройства как произведение и поступает на сглаживающее устройство 3, которое пропускает постоянную составляющую и медленно меняющиеся составляющие сигнала . В результате на выходе коррелятора получается приближенное значение корреляционной функции .

Погрешность таких корреляторов связана главным образом с ограниченным временем усреднения. Более высокую точность получают при использовании дискретных вычислительных устройств.

С помощью магнитного коррелографа график вычерчивается за 10-60 мин. Изучаемый случайный процесс в таком коррелографе записывается сразу на двух дорожках магнитной ленты с постоянным сдвигом во времени. Затем путем изменения положения одного из натяжных роликов лентопротяжного механизма на величину устанавливается сдвиг во времени между магнитными записями, считываемыми головками.

Обработанный в специальном вычислительном устройстве сиг нал с головок выдается на электронный потенциометр который и производит отметку в виде точки на бумаге. Коррелограмму находят путем повторения процесса для ряда значений .

Полученные в результате экспериментальных записей корреляционные функции обычно аппроксимируют какими-либо математическими зависимостями, например:

,

где - параметр, характеризующий скорость спадания кривой.

На практике часто встречаются и с экспоненциально косинусной функцией . Подобный вид имеют случайные процессы типа турбулентности атмосферы, фединга радиолокационного сигнала, угловое мерцания цели.

Можно показать, что любая корреляционная функция может быть аппроксимирована с желаемой степенью точности рядом, членами которого являются показательные функции.

.

Спектральная плотность, соответствующая этой функции, выражается формулой

.

Экспериментальное определение спектральной плотности как средней величины квадрата амплитуды гармоник возможно с помощью спектрометров. Для этой цели можно использовать схему, приведенную на рис. 1.14 Исследуемая случайная функция подается на гармонический анализатор 1, который является узкополосным резонансным фильтром, настраиваемым на определенную частоту . По истечении некоторого времени на выходе фильтра выделится гармоника частотой . Выходная величина фильтра 1 возводится в квадрат с помощью, например, квадратического детектора 2 и подается на инерционный измерительный прибор 3. Показания такого прибора равны среднему значению выходной ве

личины, т.е. дают приближенные значения спёктральной плотности при :

.

Меняя настройку анализатора, определяем ряд точек и по ним строим искомую кривую.

График также можно получить разложением рамм случайного процесса в ряд Фурье в достаточно большом интервале времени Т, принимая

.

Однакочаще всего получают с помощью обработки осциллограмм случайного процесса.

Спектральную плотность обычно удобно аппроксимировать дробно-рациональной функцией,если она получена в виде экспериментально снятой кривой. Способы аппроксимации экспериментальных кривых такими функциями разработаны В. В. Солодовниковым.

Измерение дисперсий случайного процесса осуществляют с помощью различных дисперсиометров. Дисперсию нормального случайного процесса можно найти путем определения его среднего значения на выходе детектора, на вход которого поступает подлежащий измерению слу-чайный процесс. На рис. 1.15 показана статическая характеристика детектора 1, случайный сигнал на входе детектора 2 и сигнал на его выходе 3. В соответствии с (1.6) среднее значение модуля сигнала на выходе детектора

,

откуда дисперсия

.

При расчете принято u_BX(t) =x(t).

В качестве усредняющего устройства в схеме дисперсиометра используется интегратор со сбросом, осуществляемым автоматически.

Напряжение на выходе интегратора за время усреднения определяется количеством сбросов (с максимальным напряжением) и остаточным напряжением, которое измеряется прибором.

Среднее значение модуля случайного сигнала

,

где — напряжение на выходе интегратора за время усреднения;

Т — время усреднения.

Контрольные вопросы

1. Каковы задачи статистического анализа?

2. Назовите основные характеристики стационарного случайно го процесса и дайте их определения.

3. Какой случайный процесс называется стационарным?

4. Как найти спектральную плотность выходного сигнала?

5. Охарактеризуйте основные свойства корреляционной функции.

6. Какова связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью?

7. Охарактеризуйте методику экспериментального определения

корреляционной функции.

8. Объясните физический смысл спектральной плотности, назовите ее размерность.

9. Дайте определение дисперсии, укажите ее размерность.

10. Дайте определение математического ожидания, назовите его размерность.

Дата добавления: 2015-07-15