Спектральное уравнение связи между статистическими характеристиками процессов на выходе и входе линейных систем

Использование при расчетах соотношений, содержащих интеграл (1.56), неудобно в связи с необходимостью двойного интегрирования. Поэтому целесообразно перейти от соотношений между корреляционными функциями во временной области к соотношениям между спектральными плотностями в частотной области.

Для этого воспользуемся переходом к изображениям Фурье от корреляционных функций и импульсных переходных функций в формуле (1.56) и получим выражение, связывающее спектральные плотности стационарных входной и выходной величин.

Переходя к изображениям Фурье в (1.56), получим

— передаточная функция (пре­образование Лапласа от им­пульсной функции k_yx());

и — спектральные плотности входной и выходной величи­ны.

В результате

. (1.67)

Это же выражение можно получить из формулы (1.31).

Реализация выходной величины

,

где —частотная характеристика системы.

Спектральная плотность сигнала на выходе системы в соответствии с выражением (1.31)

.

Так как

,

то окончательно получим

Или

Следовательно, спектральная плотность случайной функции на выходе линейной системы равна произведе­нию квадрата амплитудно-частотной характеристики этой системы на спектральную плотность случайной функции на входе.

Простота формулы (1.67) свидетельствует об удобстве спектрального метода исследования стационарных процессов. Из формул (1.42) и (1.67) следует, что дисперсия выходной величины в этом случае

(1.68)

В заключение рассмотрим вытекающие из (1.67) важ­ные соотношения при прохождении случайного сигнала через идеальное дифференцирующее и идеальное инте­грирующее звенья.

Спектральная плотность случайного сигнала на выхо­де идеального дифференцирующего устройства (производимой от входной величины) с передаточной функцией (/;) =zp равна произведению спектральной плотности одной величины на :

,

Т.е. дифференцирующее звено ослабляет сигналы низких частот и усиливает сигналы высоких частот. Если помехи содержат составляющие высоких частот со значительными амплитудами, то ошибки системы могут быть существенно увеличены.

Соответственно спектральная плотность сигнала на выходе идеального интегрирующего звена с характеристикой —равна

Введение интегрирующего звена уменьшает амплитуды высокочастотных составляющих и увеличивает низкочастотные составляющие. Ошибки системы от воздействия помех, имеющих широкий спектр, при наличии интегрирующего звена уменьшаются.

П р и м е р 1.2. Для сглаживания помех в прямую цепь САУ включен фильтр с передаточной функцией

,

где k = 2.

Входное воздействие u_BX,(t) —белый шум со спектральной плотностью .

Необходимо определить постоянную времени Т, при которой среднее квадратическое значение флуктуаций напряжения на выходе фильтра не будет превосходить .

Решение. В соответствии с формулой (1.68), находим

,

Откуда

сек.

Пример 1.2а. На входе системы с передаточной функцией

действует случайный входной сигнал, спектральная плот­ность которого

.

Известно, что Т= 0,1 сек; =10 сек^-1; а²=1; =1

Определить спектральную плотность S_y() выходно­го сигнала системы.

В соответствии с формулой (1.67)

,

или окончательно

.

В случае прохождения стационарного случайного сиг­нала через линейную систему иногда необходимо знать, как изменяется плотность вероятности.

Ранее говорилось, что при стационарном нормальном сигнале на входе сигнал на выходе системы также будет нормальным.

Практически довольно часто «ширина» кривой спектральной плотности входного сигнала значительно превышает полосу пропускания системы. В этих случаях независимо от вида кривой плотности вероятности входного сигнала выходной сигнал будет иметь плотность вероятности, близкую к нормальной.

Это означает, что при прохождении стационарного случайного сигнала через узкополосную систему этот процесс нормализуется, т. е. приближается, к нормальному.

Дата добавления: 2015-07-15