Определение динамических характеристик системы по корреляционным функциям и спектральным плотностям

Знание корреляционных функций и спектральных плотностей сигналов, действующих на входе и выходе системы, позволяет определить характеристики системы — передаточную функцию и импульсную переходную функцию. Подставляя в выражение

значение

,

Найдем

.

Изменив в последнем выражении порядок интегриро­вания, можно найти связь между корреляционной и вза­имной корреляционной функциями в виде интегрального уравнения, которое называют уравнением Винера — Хинина:

.

так как

,

То

.

Сравнивая полученное выражение с выражением

легко заметить, что у них аналогичная структура.

Таким образом, если на вход линейной системы подать сигнал x(t)=R_x(t), то на выходе этой системы дол­жен появиться сигнал y(t), совпадающий по форме со взаимной корреляционной функцией y(t) =R_yx(t).

Если возможно определение корреляционных функ­ций R_x(t) и R_yx(t), то, решая Полученное интегральное уравнение, можно найти импульсную переходную функ­цию . В тех случаях, когда входной сигнал имеет полосу частот значительно более широкую, чем полоса пропускания системы, справедливо приближенное выра­жжение

,

т. е. взаимная корреляционная функция R_yx(t) может считаться оценкой импульсной переходной функции.

Для определения характеристик системы можно вос­пользоваться и знанием спектральных плотностей сигна­лов.

Стохастический процесс на входе системы, описывае­мой обыкновенным линейным дифференциальным урав­нением с постоянными коэффициентами

,

вызывает на ее выходе стохастический процесс y(t).

Если подать на вход системы сигнал х₁(t)=R_x(t), то на выходе системы возникнет процесс y₁(t) =R_yx(t). Подставив значения и в уравнение системы, получим

Осуществляя преобразование Фурье в левой и пра-вой частях данного уравнения, его можно привести к виду

.

Учитывая, что

амплитудно-фазовая характеристика, найдем связь меж­ду спектральными плотностями и амплитудно-фазовой характеристикой системы:

.

Имея в виду, что для некоторой частоты

,

Где , , — коэффициенты разложения случайного процесса x(t) в ряд Фурье, полученные для случая, когда этот процесс представлен реализацией в интервале времени от 0 до Т, для входного x(t) и выходного y(t)

сигналов можно записать:

Поделив правую и левую части последнего уравнения на предпоследнее, получим приближенное выражение для частного значения амплитудно-частотной характеристики системы при частоте :

При увеличении Т точность приведенной зависимости повышается и в пределе становится точной

Контрольные вопросы

1. Объясните связь корреляционных функций, спектральных плотностей и математических ожиданий на входе и выходе линейной САУ.

2. Каково влияние идеального дифференцирующего и интегри­рующего звеньев на спектральную плотность проходящего через него случайного сигнала?

Дата добавления: 2015-07-15