Методы определения ошибок линейных САУ, обусловленных стационарными случайными воздействиями

В зависимости от характера задающих воздействий и помех возможны два основных подходи при расчете ошибок САУ. Первый из них основан на предположении, что задающее воздействие x(t) —детер­минированная функция времени, а помеха f(t) —стаци­онарная случайная функция времени с известными статистическими характеристиками. При этом динамиче­ская ошибка определяется по известной методике, на­пример, с помощью ряда ошибки, а ошибка от помех — статистическими методами.

В общем случае задающее воздействие и помеха, а следовательно, и ошибка z(t), являются случайными функциями времени и для их определения необходимо применение статистических методов.

Задающее воздействие и помеху, действующие на САУ, а также ошибку воспроизведения системы можно представить в виде суммы их математических ожидании и центрированных случайных функций:

(1.69)

Поскольку система линейна, ошибку воспроизведения можно считать состоящей из суммы составляющих оши­бок от задающего воздействия и от помехи.

Эти составляющие ошибок соответственно называют ошибкой от задающего воздействия или от полезного сигнала и ошибкой от помех или флуктуационной ошиб­кой. Математические ожидания задающего воздействия и помехи можно рассматривать как регулярные функции времени. Поэтому изображения ошибок, вызванных не­случайными составляющими задающего воздействия и возмущения, равны

и ,

т. е.

,

где K_zx(p) и K_zf(p) —передаточные функции ошибки по задающему x(t) и возмущающему f(t) воздействиям.

Эти воздействия могут быть приложены к одним и тем же и к разным элементам системы, например, x(t) —ко входу, a f(t) —к объекту управления.

Математическое ожидание ошибки m_z(t) называют систематической ошибкой. Центрированную составляющую ошибки z{t) называют случайной ошибкой. Установившееся значение ошибки m_z(t) при медленно меняющемся воздействии как и составляющие ошибки, вызванные неслучайной составляющей, обычно определяют с помощью ряда ошибки. Определение составляющих ошибок, обусловленных случайными составляющими воздействий и помех, требует специальной методики (определения средних значений, дисперсий) и применительно к центрированным случайным сигналам рассматривается в данном параграфе.

Для оценки качества САУ на основе критерия минимума СКО определяется математическое ожидание квадрата ошибки или средний квадрат ошибки системы

.

Положительный корень квадратный из этой величи­ны называют средней квадратической ошибкой.

.

Средний квадрат ошибки объединяет математическое ожидание и дисперсию и характеризует качество системы в целом.

Напомним, что для центрированных случайных сигналов m_z(t)=0 и средний квадрат ошибки равен ее дис­персии. В этом случае критерием качества иногда можно считать дисперсию ошибки в некоторый момент времени

При статистическом анализе точности системы от­дельно определяются и суммируются алгебраически ма­тематические ожидания каждой ошибки и геометрически (под корнем квадратным) суммируются среднеквадратические ошибки в случае их независимости.

Средние квадраты ошибок, обусловленных стационар­ными случайными воздействиями (отмечалось ранее), могут определяться как с помощью корреляционных функций (1.57), так и с помощью спектральных плотно­стей (1.42) соответствующих воздействий.

В первом случае ошибка от воздействия f(t) определяется подстановкой и интегрированием выражения

. (1.70)

Во втором случае ошибку от такого же воздействии находят интегрированием по всем частотам спектральной плотности ошибки, т. е.

. (1.71)

Последнюю же определяют исходя из известной спектральной плотности входного случайного сигнала и характеристик системы. Обычно нахождение ошибок в установившемся режиме путем использования спектральных плотностей оказывается более простым.

Спектральные плотности входных сигналов могут быть заданы аналитически или в виде графиков, в связи с этим имеются и соответствующие методы — аналитический и графоаналитический. При графическом задании спектральной плотности входного сигнала ее можно аппроксимировать и аналитическим выражением.

Наряду с расчетными существует метод, основанный на использовании электронных моделей. Этот метод по­зволяет без особых затруднений выполнить комплекс ис­следований при многочисленных изменениях характери­стик входных сигналов и параметров системы. Каждый из перечисленных методов имеет достоинства и недостат­ки и применяется в зависимости от конкретных условий решения задачи.

Дата добавления: 2015-07-15