Аналитический метод расчета

Эквивалентное представление стационарного случайного процесса. Формирующий „четырехполюсник"

Вычисление СКО наиболее просто, если входной случайный сигнал имеет вид белого шума. Как показано ранее (1.63), при воздействии на вход замкну­той системы белого шума f(t) с единичной спектральной плотностью ошибка системы может быть определена вы­ражением

, (1.72)

где —импульсная переходная функция

замкнутой системы.

Воспользовавшись теоремой Парсеваля, выражение (1.72) можно записать в виде

(1.73)

где — изображение по Лапласу импульсной переходной функции, т. е. пе­редаточная функция замкнутой си­стемы.

Интеграл вида (1.73) при дробно-рациональном подынтегральном выражении является табличным и его вычисление не представляет трудностей.

В реальных ус­ловиях на САУ дей­ствуют сигналы, от­личные от белого шума. Поэтому для определения СКО при реальных возму­щениях необходимо сформировать сигнал со спектральной плотностью, соот­ветствующей реально действующему на САУ сигналу, для чего белый шум надо предварительно пропустить через линейный формирующий четырехполюсник.

Положим, что воздействие f(t) на входе САУ являет­ся реакцией некоторого формирующего четырехполюсни­ка с передаточной функцией , возбуждаемого бе­лым шумом единичного уровня . Тогда согласно формуле (1.67) на выходе четырехполюсника и на входе САУ имеем (рис. 1.16)

; (1.74)

Откуда передаточная функция формирующего четырех­полюсника

.

Подключая четырехполюсник в единую схему с си­стемой, получаем эквивалентную передаточную функ­цию

. (1.75)

В результате любой стационарный случайный процесс можно представить эквивалентным ему процессом на выходе формирующего четырехполюсника при воздейст­вии на его вход белого шума. Такое представление ре­ального сигнала облегчает определение СКО, так как позволяет анализировать САУ методами, изложенными для случая входного белого шума.

При этом выражение (1.73) принимает вид

. (1.76)

Выражение (1.76) показывает возможность аналити­чески исследовать задачи оптимизации параметров си­стемы со случайными сигналами как и с детерминиро­ванными сигналами.

Пример 1.3. Спектральная плотность сигнала на входе реальной системы

.

Определить передаточную функцию формирующего четырехполюсника .

Представим спектральную плотность сигнала на вхо­де системы в виде

Тогда передаточная функция четырехполюсника

Где и .

Дата добавления: 2015-07-15