Расчет флуктуационных ошибок и ошибок от задающих воздействий

Предположим, что на вход системы (рис 1.17) поступает помеха f(t), а полезный сигнал x(t)=O. Требуется определить флуктуационную ошибку, вызываемую отработкой системы помехи на ее входе. Спектральная плотность помехи равна . Па­раметры системы, а имен­но передаточная функция ее также известна.

Поскольку в этом слу­чае весь сигнал на выходе системы представляет со­бой сигнал ошибки, спект­ральная плотность ошибки

, (1.77)

Где —квадрат амплитудно-частотной характери­стики (АЧХ) замкнутой системы.

Для облегчения вычисления интеграла (1.76) и при­ведения его к табличному спектральную плотность вход­ного сигнала представляем, как показано было ранее, в виде

. (1.78)

Подставляя (1.78) в (1.77) и обозначая , полу­чим подынтегральное выражение (1.76), т. е.

. (1.79)

Обычно —рациональная дробь, также может быть представлено в виде рациональной дроби.

Учитывая (1.71) и (1.76), получим выражение для среднего квадрата ошибки в виде табличного интеграла:

(1.80)

где многочлены под интегралом

причем п>т.

Таблицы интегралов до n = 6 приведены в приложе­нии I.

Если помеха действует не на входе системы, то вме­сто берется передаточная функция K_yf(p), соот­ветствующая месту приложения воздействия f.

Пример 1.4. Определить флуктуационную ошибку

системы с передаточной функцией , если на ее входе действует возмущение в виде белого шума со спектральной плотностью

Для решения задачи находим

а также представляем

Тогда средний квадрат ошибки

Имея в виду, что c(p)=ak_v и d(p) =k_v+p, найдем коэффициенты полиномов числителя и знаменателя:

с₀ = ak_v; d_o = k_v; .

С помощью табличного интеграла окончательно получим:

.

Заметим, что подготовка для вычисления интеграла, сводящаяся к нахождению выражения , может быть упрощена. Так как подынтегральное выра­жение в формуле (1.80) является результатом возведе­ния в квадрат , то для вычис­ления интеграла (1.80) коэффициенты полиномов числи­теля и знаменателя определяют исходя из соотношения

. (1.81)

Таким образом, решение задачи сводится к нахожде­нию произведения .

Рассмотрим другой случай, когда на входе системы помеха отсутствует f(t)= 0, а полезный сигнал представ­ляет собой случайный стационарный процесс со спект­ральной плотностью .

Методика расчета остается прежней, но заме­няется на , a на F_x(p).

Ошибка системы

Z_x(p) = K_zx(p)X(p). (1.82)

Спектральная плотность ошибки.

(1.83)

где —квадрат АЧХ ошибки.

Подставляя в выражение (1.83) и представляя в виде произведения сопряженных составляющих , т. е.

,

окончательно получим выражение, аналогичное (1.80):

. (1.84)

Пример 1.5. Вычислить значение среднего квадра­та сигнала на выходе схемы рис. 1.18, если на ее вход по­дается сигнал со спектральной плотностью в²*сек. Параметры схе­мы: R = 500 ом; С = 0,01 ф.

Передаточная функция си­стемы

.

В соответствии с (1.81) находим

.

Следовательно, , , и значение сред­него квадрата сигнала на выходе схемы

в².

Спектральная плотность напряжения на выходе схемы

.

Рассмотрим более общий случай, когда на систему помимо задающего воздействия x(t) действует одновре­менно помеха f(t).

Суммарная ошибка

. (1.85)

Спектральная плотность ошибки

(1.86)

Где

и

представляют собой взаимные спектральные плотности полезного сигнала и помехи, а и — ча­стотные характеристики ошибки по полезному сигналу и помехе. При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой

и формула (1.86) упрощается:

(1.87)

Для помехи, приложенной совместно с задающим воздействием, когда , и при отсутствии корреляции между ними получим

. (1.88)

Средний квадрат ошибки

, (1.89)

Где

(1.90)

составляющая дисперсии ошибки, вызываемая задающим воздействием x(t);

(1.91)

составляющая дисперсии ошибки, вызываемая возмуща­ющим воздействием f(t).

Среднеквадратическое значение суммарной ошибки системы

(1.92)

Среднеквадратическую ошибку системы, определяе­мую формулой (1.92), не следует смешивать со среднеквадратическим отклонением , которое равно положи­тельному квадратному корню из дисперсии .

Как следует из формулы (1.89), среднее значение квадрата ошибки зависит от структуры системы (вида ее передаточной функции и параметров) и от спектраль­ных плотностей входного сигнала и помехи.

Для минимизации соответствующей составляющей ошибки системы необходимо уменьшать площадь под кривой произведения спектральной плотности входного сигнала на квадрат амплитудно-частотной характеристики.

Заменяя в выражении (1.90) передаточную функцию ошибки на передаточную функцию замкнутой системы Ко(р), получим средний квадрат выходной величины .

Если в задающем сигнале x(t) можно выделить воз­действие в виде неслучайной составляющей m_x(t), пред­ставляющей собой медленно меняющуюся функцию времени, и стационарный центрированный случайный процесс, т. е.

,

то точность системы можно оценить средним квадратом ошибки, равным сумме квадратов динамической и слу­чайной ошибок:

или

Здесь — коэффициент, определяющий удельный вес ди­намической ошибки;

,

Где ,... — коэффициенты ошибки.

Для случая, когда можно предположить, что скорость изменения задающего воздействия постоянна в течение рассматриваемого интервала времени, т. е. , а помеха— белый шум, в соответствии с (1.89) по­лучим для систем с астатизмом 1-го порядка

.

Пример 1.6. Определить средний квадрат суммарной ошибки САУ с передаточной функцией , если на входе системы действует задающее воздействие со спектральной плотностью и помеха со спектральной плотностью . Ошибка системы определяется формулой (1.89). Вторая составляющая ошибки определена в примере 1.4:

.

Вычислим первую составляющую ошибки (от задаю­щего воздействия).

Передаточная функция ошибки

.

Представим спектральную плотность через сопряжен­ные составляющие:

.

Находим

.

Табличный интеграл

.

Окончательно

.

Из данного выражения следует, что для уменьшения составляющей ошибки от полезного сигнала необходимо увеличение , а для уменьшения составляющей ошибки от помех нужно уменьшать.

Основным достоинством аналитического метода яв­ляется возможность установления связи между величи­ной СКО и параметрами системы, что позволяет опреде­лять значения -параметров системы, при которых СКО оказывается минимальной.

Дата добавления: 2015-07-15