Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2)

Пусть: 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно- гладкой) поверхности s задана ограниченная функция ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3) - разбиение s на n частей с площадями и диаметрами ; 4) - произвольный набор точек;
5) - проекция элемента на плоскость (проекция определенной стороны поверхности связана со знаком “+” или “–“); 6) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек.

Определение. Конечный предел при называется поверхностным интегралом второго рода от по определенной стороне поверхности s:

(здесь напоминает о проекции на и содержит знак).

При проецировании ориентированной поверхности s на плоскости и получаем ПИ-2:

.

Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность задана явно. Тогда

а) если , то ;

б) если , то ; (6.5)

в) если , то .

Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если s - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация s характеризуется нормалью = - функции, определенные и непрерывные на s, то

. (6.6)

Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью s с положительной внешней стороной. Справедлива формула

.

Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”.

Пример 25. Вычислить ПИ-2: , где - положительная (внешняя) сторона сферы.

Рис.14.28

Ñ Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность необходимо разбить на с уравнением и с уравнением (рис.14.28). Тогда на основании (6.2) положительная сторона поверхности характеризуется нормальным вектором ,

ибо угол между и положительным направлением Oz, т.е. (,^Ù Oz), – острый, а положительная сторона поверхностности - вектором , ибо угол (,^Ù Oz)- тупой. Проекция каждой из поверхностей и есть область - круг радиуса R с центром в начале координат. Поэтому по формуле (6.5) + = ½переходим к полярным координатам:

, ½= = = =½двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов½= ;

=

= ; .

Итак, . #

Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: , где - внешняя сторона конической поверхности , ограниченной плоскостью z =2.

ÑВнешняя сторона поверхности характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой угол с положительным направлением оси Oz (рис.14.29),

Рис.14.29

а потому , = .

Тогда , .

Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6)

=

Рис.14.29

= . Последний поверхностный интеграл есть ПИ-1. Проекция на плоскость Oxy есть область - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Так как , то по формуле (6.3) (или (6.4)) =½переходим к полярным координатам ½=

= = = = .#

Дата добавления: 2015-10-30