Области на плоскости

Кратные интегралы

Определение кратного интеграла

Определение двойного и тройного интеграла

Пусть: 1) в ограниченной замкнутой области “ объема” v(E) задана ограниченная функция ; 2) - разбиение области на подобласти с объемами и диаметрами , - диаметр разбиения; 3) зафиксируем точки , ; 4) построим интегральную сумму

.

Определение. Конечный предел I интегральной суммы при называется m - кратным интегралом от функции f по области E и обозначается

или . (1.1)

Таким образом, по определению,

(1.2)

В этом случае функция называется интегрируемой в E.

При m =2 (m =3) для ограниченной функции f в замкнутой области ) кратный интеграл (1.1) называется двойным (тройным) интегралом, а соответствующее определение (1.2) примет вид

,где точка (,

где точка .

Двойные интегралы

Области на плоскости

Определение. Область назовем правильной в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области ровно в двух точках (рис.14.1).

Область S будет правильной в направлении Oy, если существуют функции и , определенные и непрерывные на [ a; b ] и такие, что координаты точек, принадлежащих (S), удовлетворяют условиям: ; тогда символически можно записать:

. (2.1)

Область S будет правильной в направлении Ox, если существуют функции и , определенные и непрерывные на [ c; d ] и такие, что координаты точек, принадлежащих S, удовлетворяют условиям: (рис.14.2);

тогда символически

. (2.2)

Рис.14.1. Рис.14.2.

Область называется правильной, если она правильная в обоих направлениях Ox и Oy.

Пример 1. Область S задана уравнениями границы: .

Изобразить указанную область и записать как правильную.

Рис.14.3

Ñ Область S – треугольник, ограниченный прямыми (рис.14.3). Точки пересечения прямых есть O(0;0), A(2;1), B(2;2).
а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую и прямую . Поэтому в силу (2.1) область задается системой неравенств: .

Рис. 14.4

б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить на две части S ₁ и S ₂ (рис.14.4). Выразим в уравнениях границы x через независимую переменную y: OB: x=y, OA: x=2y. Для определения границ изменения переменной y проведем прямые, параллельные оси Ox. Прямая L ₁ пересекает прямую OB: x=y и прямую OA: x= 2 y; прямая L ₂ пересекает прямую OB: x=y и прямую AB: x =2. Итак, и в силу (2.2) , .#

Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству (a >0), т.е. . Изобразить данную область и записать как правильную.

Ñ Преобразуя неравенство , получим . Геометрически область D есть круг радиуса a /2 c центром в точке С (a /2; 0). Из уравнения границы следует или .Область D может быть записана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуокружность и полуокружность OML: (рис. 14.5)), в силу (2.1) .

Рис. 14.5 Рис.14.6

Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает полуокружность

и полуокружность + (рис. 14.6)), и в силу (2.2): #

Дата добавления: 2015-10-30