Задачи для самостоятельного решения. Вычислить криволинейные интегралы первого рода:

Вычислить криволинейные интегралы первого рода:

81. , где l – отрезок прямой , заключенный между точками и .

82. , где l – контур прямоугольника с вершинами: .

83. , где l – дуга параболы , отсеченная параболой .

84. , где l – первая арка циклоиды .

85. , где l - половина лемнискаты .

86. , где l – часть спирали Архимеда , заключенная внутри круга радиуса R с центром в точке .

87. , где l – первый виток конической винтовой линии , , .

88. , где l –четверть окружности , лежащая в первом октанте.

89. , где l – дуга гиперболы , .

90. , где l – дуга астроиды в первом квадранте.

91. Найти массу первого витка винтовой линии , плотность которой в каждой точке равна полярному радиусу этой точки.

92. Найти массу линии , , от точки, соответствующей t =0, до произвольной точки, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке равна единице.

93. Найти массу дуги параболы , если линейная плотность в текущей точке равна .

Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой:

94. , от точки до точки .

95. .

96. .

Криволинейные интегралы второго рода (КИ-2)

Пусть: 1) в точках непрерывной кривой AB из пространства определены ограниченные скалярные функции ;

2) - произвольное разбиение кривой AB на элементарные дуги с длинами и проекциями , , на соответствующие оси координат; 3) - произвольный набор точек;

4) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и данному выбору точек.

Определение. Конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения AB, ни от выбора точек , называется криволинейным интегралом второго рода от функций по пути AB: .

Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую AB.

Вычисление КИ-2. Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической форме: , где - непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от к кривая описывается именно от точки A к точке B, то

(5.5)

причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл.

Следствия.

а) Для плоской линии AB: и функций , : .

б) Для заданной явно плоской линии

. (5.6)

Дата добавления: 2015-10-30