Ротор (вихрь) векторного поля

Пусть поле - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями).

Определение. Вихрем векторного поля (обозначается rot ) называется вектор, проекция которого на произвольный вектор определяется как предел отношения циркуляции поля по некоторому контуру (L), содержащему точку M, и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору , к площади области, ограниченной этим контуром, при условии, что этот контур стягивается в точку M, а площадь области (S) стремится к нулю:

. (1.13)

В трехмерном пространстве через декартовы прямоугольные координаты вектора выражается следующим образом:

, (1.14)

или в удобной для запоминания символической форме

. (1.15)

Теорема Стокса. Пусть координаты вектора + непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поля по замкнутому контуру (L) равна потоку вихрей поля через произвольную поверхность (S), натянутую на этот контур:

. (1.16)

Предполагается, что ориентация контура (L) и поверхности (S) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”.

Свойства ротора: 1) ; 2) .

Определение. Векторное поле называется безвихревым в данной области (V), если .

Пример 1. Найти ротор поля вектора напряженности магнитного поля .

Решение.Вектор в координатной форме: . Вычислим ротор по формуле (1.15):

+ -

- поле напряженности - безвихревое поле.

Пример 2. Вычислить циркуляцию вектора по контуру 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.

Рис.5.

Решение. 1)Контур (L) – окружность радиуса , лежащая в плоскости
z =3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней, как указано на рисунке. Параметрические уравнения линии , так что , . Для циркуляции вектора имеем: . 2)Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность (S), натянутую на контур (L).Естественно в качестве (S) взять круг, имеющий линию (L) своей границей. Согласно выбранной ориентации контура нормаль к кругу необходимо взять равной . Вычислим ротор: .
По теореме Стокса
.

Дата добавления: 2015-10-30