Читайте также: |
|
Теорема 14.8. Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то равносильны следующие четыре утверждения:
1) , где l – замкнутый контур, лежащий внутри V;
2) не зависит от выбора пути интегрирования;
3) есть полный дифференциал некоторой однозначной функции , заданной в точках V;
4) выполняются равенства: .
Функция может быть найдена, например, по формуле
(5.7)
где - некоторая фиксированная точка области V, c – произвольная постоянная.
Связь между КИ-1 и КИ-2. Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осью координат углы . Тогда
.
Связь КИ-2 с двойным интегралом (формула Грина). Теорема 14.9. Пусть: 1) функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области ; 2) l – кусочно-гладкий контур, ограничивающий область , и при положительном обходе l ближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула:
.
Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограниченной простым кусочно-гладким контуром l, равна
.
Пример 20. Вычислить КИ-2: , где L – дуга параболы , проходимая от точки до точки .
Ñ Кривая l представлена на рис.14.24.
|
Пример 21. Вычислить КИ-2: , где l – замкнутый контур, полученный пересечением сферы и цилиндра , обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис.14.25).
|
= .#
Пример 22. Найти первообразную функции , если .
Ñ По формуле (5.7) при получим
.#
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить криволинейные интегралы второго рода:
97. , где l – отрезок прямой от точки пересечения ее с осью Ox до точки пересечения с осью Oy.
98. , где l – контур прямоугольника с вершинами , указанными в порядке обхода l.
99. вдоль линий: 1) , 2) , 3) , 4) .
100. , l – эллипс , обходимый в положительном направлении.
101. , где l – первая от начала координат арки циклоиды , .
102. , где l – отрезок прямой от точки (1;1;1) до точки (2;3;4).
103. , где l – дуга винтовой линии .
104. , где l – линия пересечения сферы и цилиндра (), обходимая против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть кривой Вивиани).
Убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить КИ-2:
105. . 106. . 107. .
108. (контурное интегрирование не пересекает поверхность .
Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу:
109. .
110. .
111. .
112. .
113. . 114.
С помощью формулы Грина вычислить КИ-2:
115. , где l – окружность .
116. , где l – эллипс .
117. Вычислить , где l – простой замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении. Указание. Рассмотреть случаи: 1) начало координат находится вне контура l; 2) контур l окружает начало координат.
118. В каждой точке эллипса приложена сила , равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу при перемещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в первом октанте; б) вдоль всего эллипса.
119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу этой силы по окружности от точки до точки . Указание. .
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 104 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Задачи для самостоятельного решения | | | Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1) |