Метод интегрирования по частям. Примеры.

Пусть ф-я u и v, а также их произв-е явл-ся дифференц-ми ф-ми, тогда .

Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемы на D

d(u•v) = du•v + u•dv Þ ∫ d(u•v) = ∫du•v + ∫u•dv Þ u•v = ∫v•du + ∫u•dv Þ

∫u•dv = u•v - ∫v•du – формула интегрирования по частям

Применение данной формулы:

1. P_n (x)•φ(x)dx; P_n (x) – многочлен n-ой степени

а) φ(x) = sin ax u = P_n (x); dv = φ(x)dx

cos ax

e^Kx

b) φ(x) = обратные тригонометрические функции u = φ(x); dv = P_n (x)dx

log_ax

2. e^kx•sin ax dx в этом случае любой из множителей можно принять

e^kx•cos ax dx за u

11.Двукратное интегрирование по частям на примере

Найти неопределенный интеграл

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:

В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:

Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:

Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:

За мы обозначили экспоненту.

за можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби.

12.Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен . Примеры.

1. Интегрирование выражений, сод-х квадратный трехчлен

x+p/2=t dx=dt a²= или

IV

V. p²/4-q>0

p²/4-q<0

13. Интегралы от ф-ий, содер-их квадратный трёхчлен.

Инт-лы вида можно свести к табличн. путём выделения полного квадрата в квадратн. трёхчлене. = = .Для нахожд-я инт. вида в числит. выделяют производную квадратного трёхчлена, стоящего под знаком корня, затем раскладываю инт-л на сумму 2-х инт-ов, один их к-х табл-й, а др. вида . .

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби. Примеры.

1. Многочленом степени n наз-ся выражение вида a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=P_n(x)

Рациональной дробью наз-ют отношение двух многочленов вида При n=0 вычисление интеграла никаких трудностей не представляет

Интерес представляют рациональные дроби, у кот. n>0 При этом будем рассматривать дроби, у кот. m<n Если m>=n, то применяют процедуру деления многочленов уголком

Дата добавления: 2015-10-31