Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоремы о дифференцировании сложной функции двух переменных.

Читайте также:
  1. HLA - система; классы антигенов, биологические функции, практическое значение HLA-типирования.
  2. II закон термодинамики. Характеристические функции системы. Уравнение энергетического баланса системы, его анализ.
  3. IV.Функции герундия в предложении.
  4. Python. Модуль math. Математические функции
  5. Агрегатные функции. Предложения GROUP BY, HAVING.
  6. Аккумулирующие сосуды и сосуды возврата крови к сердцу. Их функции. Временное и длительное депонирование крови.
  7. Алгоритм поиска подстроки Кнута-Морриса-Пратта (на основе префикс-функции)

Понятие функции нескольких переменных; ее область определения. Предел функции двух переменных в точке. Непрерывность функции двух переменных в точке. Примеры.

Ф-ю z=f(x,y) наз-ют ф-ей 2-ух переменных, x u y Наз-ют зависимыми перемен. Мн-во пар x и y при к!ых ф-ия имеет смысл образуе обл опред-я ф-ий 2-ух перемен. Ф-я z=f(x,y) наз-ся непрерывной в точке с коорд. (), если предел ф!ии f(x,y) при x и y равен значению ф-ии в точке (Xo,Y0), т.е. .

Частное приращение функции двух переменных. Частная производная функции нескольких переменных по одной из этих переменных. Примеры.

Зависит от приращ. Независимых перемен. z=f(x,y,z) . Частная произв. по одной из этих перемен. Например по х обознач-ся как Z`x и определяется как =

Полное приращение функции двух переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Формула для приближенных вычислений. Геометрический смысл дифференциала.

Полным приращением ф-ии 2-х переменных наз-ся разность

Полным диф ф-ии z=f(x,y) наз-ся главная часть полного приращ , линейная относит. и . du= dx+ dy+ dz. Ф-ла для приближ вычисл. В конкр. Точке Мо: .

Теоремы о дифференцировании сложной функции двух переменных.

 

Теорема. Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f¢(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g¢(y0)=1/f(x0) или x¢y=1/y¢x.

Доказательство.

Пусть а=f¢(x0). Тогда из дифференцируемости f(x) в х0 следует, что приращение Dу= f(x0+Dх) - f(x0) можно представить в виде Dу=аDх+аDх=(а+а) Dх, где а=а(Dх)®0 при Dх®0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что Dх®0, когда Dу®0. Имеем

g¢(y0)= lim g(y+Dy)-g(y0) = lim Dx =lim ì Dyü-1 = 1.

Dy®0 Dy Dy®0 Dy Dy®0 îDxþ f¢(x0)

 

Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f¢(x0)*g¢(t0) или y¢t=y¢x*x¢t.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, поэтому её приращение можно представить как Dy=f¢(x0)+a(Dx)*Dx. Где Dx®0 при Dt®0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t0. Так как а(Dx)®0 при Dx ®0 и при Dt®0. Поэтому

d f(g(t))|t=to=lim (f¢(x0)) Dx +a(Dx) Dx =

dt Dt®0 Dt Dt

=f¢(x0)g¢(t0)+0*g¢(t0)= f¢(x0)g¢(t0).

 

 

Дата добавления: 2015-10-31; просмотров: 274 | Нарушение авторских прав

<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Художня культура Росії в ХІХ – на поч. ХХ ст.| Метод интегрирования по частям. Примеры.
mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)