Задачи для самостоятельного решения. Перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам или сферическим

Перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам или сферическим координатам и расставить пределы интегрирования:

52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная поверхностями , .

53. V – область, ограниченная поверхностями .

54. .

55. .

Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить интегралы:

56. . 57. .

58. . 59. .

60. , где .

61. , где .

62. , где область V ограничена поверхностью .

Некоторые приложения двойных и тройных интегралов

1. Площадь фигуры. а) Для плоской фигуры

. (4.1)

б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается в разделе 14.6. этой главы.

2. Объем тела V: ( - проекция V на плоскость Oxy):

(4.2)

или . (4.3)

3. Масса. а) Если - поверхностная плотность массы плоской фигуры , то

. (4.4)

б) если - объемная плотность массы тела , то

. (4.5)

Для однородных фигур и тел плотность примем равной единице.

4. Статические моменты и координаты центра тяжести. а) Для плоской фигуры c плотностью и массой m статические моменты относительно координатных осей:

, ;

координаты центра тяжести:

, .

б) Для тела V с плотностью и массой m статические моменты относительно координатных плоскостей

, , ;

координаты центра тяжести:

, , .

Пример14. Найти массу пластинки с поверхностной плотностью .

Ñ По формуле (4.4) . Область D и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 в пункте 14.2.4 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому и при . #

Пример 15. Найти массу тела. , если объемная плотность .

Ñ По формуле (4.5) . Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере 12 из пункта 14.3.3, , и потому .#

Пример 16. Найти объем тела ; , .

Ñ Из формулы (4.3) . Тело V ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис.14.21).

a)

Рис.14.21

Рис.14.21 в)

Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность перехода к сферическим координатам по формулам: , , . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются:1) ;
2) ;

3) или ;

4) ;

5) ; 6) .

Область изменения сферических координат точек области V есть

.

Тогда в силу формулы (3.7) =

=

. #

Дата добавления: 2015-10-30