Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1)

Пусть: 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности s из пространства , ограниченной кусочно-гладким контуром, определена ограниченная скалярная функция ; 2) - произвольное разбиение s на n частей с площадями и диаметрами ; 3) - произвольный набор точек;

4) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению поверхности s и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы при ,не зависящий ни от способа разбиения поверхности s, ни от выбора точек , называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности s:

.

Вычисление ПИ-1. Теорема 14.10. Если: 1) поверхность s задана неявным уравнением и есть решение этого уравнения при или - решение уравнения при , или -решение уравнения при , где - проекции s на плоскости - соответственно, 2) между точками s и ее соответствующей проекцией установлено взаимно однозначное соответствие, то

, (6.3)

причем ПИ-1 существует, если существуют соответствующие двойные интегралы.

Здесь координаты вектора и находятся по формулам (6.1).
ПИ-1 не зависит от выбора стороны поверхности.

Следствие. При явном задании s: в силу (6.2) из (6.3) получим

. (6.4)

Некоторые приложения ПИ-1

1. Масса материальной поверхности. Пусть - поверхностная плотность материальной поверхности s площади s. Тогда масса этой поверхности
.

2. Площадь искривленной поверхности s. Если принять в предыдущей формуле , то масса поверхности s числено равна площади s, т.е.
.

3. Статические моменты материальной поверхности s с поверхностной плотностью и массой m относительно плоскостей соответственно равны: , , .

4. Координаты центра тяжести материальной поверхности s:

.

Задания

1. Записать линейные свойства ПИ-1.

2. Записать свойство аддитивности для ПИ-1.

Пример 23. Вычислить ПИ-1 , где s - часть плоскости

, вырезанная цилиндром (рис.14.26).

Рис. 14.26

Ñ Поверхность s проецируется на плоскость в круг . По формуле (6.4) . Из уравнения s следует , ; тогда =

=

= .#

Пример 24. Вычислить ПИ-1 , где s - полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью .

Ñ Полная поверхность s тетраэдра складывается из его граней: ,где (рис.14.27).

Выпишем уравнения поверхностей и вычислим для них элементы :

а) ;

б) ;

Рис.14.277

в) ;

г) .

Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проецирования их; - области, на которые проецируются .

.

По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции независимые переменные (переменные из области ) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, а заменить выражением, полученным выше, причем . Находим:

;

, так как области и переходят одна в другую заменой на ;

;

= .

.#

Дата добавления: 2015-10-30