Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

V. Интегралы вида

Читайте также:
  1. II. Интегралы вида
  2. Интегралы вида , ,,.
  3. Кратные интегралы в криволинейных координатах
  4. Криволинейные интегралы
  5. Несобственные интегралы 2-го рода
  6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

.

Запись означает, что над синусом и косинусом производятся только рациональные операции: сложение и вычитание, умножение на постоянные величины, возведение в целые степени как положительные, так и отрицательные, деление. Другими словами, под символом следует понимать рациональную функцию синуса и косинуса.

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой универсальной тригонометрической подстановки

.

В результате этой подстановки имеем:

;

.

Задача V.V.1. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1) ▲

. ▼

2) ▲

. ▼

3) ▲

. ▼

4) ▲

. ▼

Универсальная подстановка приводит во многих случаях к сложным вычислениям, так как при ее применении выражаются через переменную в виде рациональных дробей, содержащих .

В ряде случаев рационализация подынтегрального выражения может быть достигнута с помощью других, более простых подстановок. Приведем важнейшие из этих случаев.

Если подынтегральная функция имеет вид

,

где – рациональная функция одного аргумента, то применяется подстановка

.

Замечание. Если функция меняет знак при замене ,

т. е. является нечетной функцией , то применяется подстановка .

Если подынтегральная функция имеет вид

,

где – рациональная функция одного аргумента, то применяется подстановка

.

Замечание. Если функция меняет знак при замене ,

т. е. является нечетной функцией , то применяется подстановка .

3. Если функция не изменяется при замене на и

на , т. е. ,

то для нахождения интеграла целесообразно использовать подстановку .

Задача V.V.2. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) .

1) ▲

. ▼

2) ▲

. ▼

3) ▲

. ▼

Решение задач 22-24, 26 типового варианта

Найти неопределенные интегралы.

1) ▲

. ▼

2) ▲

. ▼

3) ▲

. ▼

4) ▲

. ▼

 

VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

В отличие от функций рациональных иррациональные выражения далеко не всегда интегрируются в элементарных функциях. Рассмотрим некоторые частные типы иррациональных функций, интегрирующихся в конечном виде.


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 116 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ | Основные свойства неопределенного интеграла | II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ | Краткие сведения о рациональных функциях | Некоторые корни знаменателя кратные | Интегрирование простейших дробей | Знания и умения, которыми должен владеть студент |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
II. Интегралы вида| VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)