Читайте также: |
|
.
Запись означает, что над синусом и косинусом производятся только рациональные операции: сложение и вычитание, умножение на постоянные величины, возведение в целые степени как положительные, так и отрицательные, деление. Другими словами, под символом следует понимать рациональную функцию синуса и косинуса.
Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой универсальной тригонометрической подстановки
.
В результате этой подстановки имеем:
;
.
Задача V.V.1. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
1) ▲
. ▼
2) ▲
. ▼
3) ▲
. ▼
4) ▲
. ▼
Универсальная подстановка приводит во многих случаях к сложным вычислениям, так как при ее применении выражаются через переменную в виде рациональных дробей, содержащих .
В ряде случаев рационализация подынтегрального выражения может быть достигнута с помощью других, более простых подстановок. Приведем важнейшие из этих случаев.
Если подынтегральная функция имеет вид
,
где – рациональная функция одного аргумента, то применяется подстановка
.
Замечание. Если функция меняет знак при замене ,
т. е. является нечетной функцией , то применяется подстановка .
Если подынтегральная функция имеет вид
,
где – рациональная функция одного аргумента, то применяется подстановка
.
Замечание. Если функция меняет знак при замене ,
т. е. является нечетной функцией , то применяется подстановка .
3. Если функция не изменяется при замене на и
на , т. е. ,
то для нахождения интеграла целесообразно использовать подстановку .
Задача V.V.2. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) .
1) ▲
. ▼
2) ▲
. ▼
3) ▲
. ▼
Решение задач 22-24, 26 типового варианта
Найти неопределенные интегралы.
1) ▲
. ▼
2) ▲
. ▼
3) ▲
. ▼
4) ▲
. ▼
VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В отличие от функций рациональных иррациональные выражения далеко не всегда интегрируются в элементарных функциях. Рассмотрим некоторые частные типы иррациональных функций, интегрирующихся в конечном виде.
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 116 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
II. Интегралы вида | | | VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ |