Читайте также: |
|
Простейшей рациональной функцией является многочлен степени, т. е. функция вида
, (IV.1)
где – вещественные постоянные, причем . Многочлен , у которого коэффициент , называется приведенным.
Корни многочлена.
Вещественное число называется корнем многочлена , если .
Разложение многочлена на множители.
1. Если числа являются корнями многочлена , то этот многочлен может быть разложен на множители по формуле
. (IV.2)
2. Многочлен степени не может иметь больше, чем различных корней.
3. Корень многочлена называется простым, если в разложение (IV.2) множитель входит один раз.
Если же этот множитель в формулу (IV.2) входит раз, то корень называется корнем кратности многочлена (IV.1).
4. Если многочлен (IV.1) имеет не только вещественные, но и комплексные корни, то вместо формулы (IV.2) имеет место формула
(IV.1),
где – натуральные числа.
Квадратичные множители , входящие в эту формулу, не имеют вещественных корней и на множители первой степени с вещественными коэффициентами не разлагаются (здесь – вещественные коэффициенты).
Рациональная дробь.
Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов
,
причем предполагается, что многочлены не имеют общих множителей.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. .
Если же , то рациональная дробь называется неправильной, ее можно представить в виде
,
где – некоторые многочлены, а является правильной рациональной дробью.
Пример IV. 1. 1) ; 2) ; 3) .
1) ▲ . Дробь правильная (степень числителя меньше степени знаменателя). ▼
2) ▲ . Дробь неправильная (степень числителя равна степени знаменателя). ▼
3) ▲ . Дробь неправильная (степень числителя больше степени знаменателя). ▼
Из неправильной рациональной дроби всегда можно выделить целую часть (многочлен). Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочленов.
Пример IV. 2. Рациональная функция является неправильной дробью.
▲ Разделив на «уголком», будем иметь
и, таким образом,
. ▼
Простейшие дроби.
Определение. Простейшими (или элементарными) дробями называются рациональные дроби следующих четырех типов:
I. ; II. ; III. ; IV. ,
Где – вещественные числа, – натуральное число, большее или равное 2, а квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, так что его дискриминант .
Разложение рациональной дроби на простейшие.
В алгебре доказывается теорема.
Теорема IV.1. Правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид
,
разлагается единственным способом на сумму простейших дробей по правилу
,
где – вещественные числа, подлежащие определению.
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 123 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ | | | Некоторые корни знаменателя кратные |