Читайте также:
|
|
Одним из основных приемов интегрирования функций является замена переменной (метод подстановки), который состоит в том, что в интеграле , нахождение которого затруднительно, вводят новую переменную , связанную с переменной соотношением
,
где – непрерывная строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную на некотором интервале изменения , после чего получают
.
Отметим, что при замене должно осуществляться взаимно однозначное соответствие между областями определения функций , такое, чтобы функция принимала все значения .
Два способа замены переменной
Переменную интегрирования в неопределенном интеграле можно заменить любой непрерывной функцией:
. (I)
Формула (I) определяет собой два способа замены переменной. При чтении формулы слева направо получается способ I:
.
Если будет проще, чем , то эта замена переменной целесообразна. В результате интегрирования получится функция независимой переменной
При чтении справа налево получается способ II:
.
Если последний интеграл проще первого, то замена переменной целесообразна.
СПОСОБ I.
.
Общего правила, которое указывало бы, как выбрать функцию , не существует. Умение выбрать эту функцию достигается опытом. Однако для многих типов интегралов подстановка известна и нами будет в соответствующих местах указана. Обратим внимание читателя на то, что, пользуясь подстановкой , надо найти множитель .
Заметим также, что функция должна иметь обратную функцию. Это необходимо для того, чтобы из подстановки можно было определить как функцию .
Задача I.1. Найти интеграл при помощи подстановки .
▲
. ▼
Задача I. 2. Найти интеграл .
▲
. ▼
Задача I. 3. Найти интеграл .
Способ 1.
▲
. ▼
Способ 2.
▲
. ▼
СПОСОБ II.
.
Задача II. 1. Найти интеграл .
▲ . ▼
Задача II. 2. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
1) ▲
. ▼
2) ▲ . ▼
3) ▲ . ▼
4) ▲
. ▼
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В УМЕ
Замена переменной в уме может быть выполнена во втором случае:
,
когда – табличный интеграл, в котором переменная интегрирования – непрерывная функция.
ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В УМЕ НЕОБХОДИМО:
Ø ХОРОШО ЗНАТЬ ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ СТРУКТУРУ,
Ø УМЕТЬ БЫСТРО НАХОДИТЬ ТАБЛИЧНЫЙ ИНТЕГРАЛ, ПОХОЖИЙ НА ДАННЫЙ,
Ø ОВЛАДЕТЬ ПРИЕМОМ ПОДВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
Объясним последнюю операцию:
Подвести функцию под знак дифференциала – значит, проинтегрировать ее в уме и записать под знак дифференциала одну из ее первообразных функций.
Пример 1. Подведите под знак дифференциала следующие функции.
Структура табличных интегралов | Если , то , | где – любая непрерывная функция |
Пример 2. Посмотрите, как по-разному могут быть записаны табличные интегралы, если воспользоваться формулой при разных функциях :
.
А если записать их иначе:
.
Не правда ли, в интегралах справа очень трудно узнать интеграл, определяющий синус сложной функции.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В УМЕ СОСОТОИТ В ТОМ,
Ø ЧТОБЫ УЗНАТЬ, В КАКОМ ТАБЛИЧНОМ ИНТЕГРАЛЕ, КАКОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИЕЙ ЗАМЕНЕНА ПЕРЕМЕННАЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ,
Ø ЗАТЕМ ПОДВЕСТИ НУЖНУЮ ЧАСТЬ ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПОД ЗНАК ДИФФЕРЕНЦИАЛА,
Ø ПОЛУЧИТЬ И ЗАПИСАТЬ ПО ТАБЛИЦЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ .
Задача 1. Найти интегралы: 1) ; 2) .
1) ▲ . ▼
2) ▲ . ▼
Решение задач 1-14 типового варианта
Найти неопределенные интегралы (в задачах 1-5 результаты интегрирования проверить дифференцированием).
1. .
▲
.
Проверим полученный результат:
. ▼
2. .
▲ Способ 1.
.
▲ Способ 2.
.
Проверим полученный результат:
. ▼
3. .
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
.
Проверим полученный результат:
. ▼
4. .
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
.
Проверим полученный результат:
. ▼
5. .
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
.
Проверим полученный результат:
. ▼
6. .
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
7. .
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
8. .
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. . ▼
9. .
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
10. .
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
11. .
▲ Способ 1.
.
Способ 2.
. ▼
12. .
Способ 1.
▲
.
Способ 2.
. ▼
13. .
Способ 1.
▲
.
Способ 2.
. ▼
14. .
▲
. ▼
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 180 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Основные свойства неопределенного интеграла | | | Краткие сведения о рациональных функциях |