Читайте также:
|
|
Несобственные интегралы.
Понятие определенного интеграла было дано в предположении, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то соответствующие интегралы называются несобственными. Рассмотрим два вида несобственных интегралов.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Пусть промежутком интегрирования является луч , а функция y=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b]. Геометрически задача состоит в нахождении площади под кривой. Возьмем точку в, найдем площадь кр.тр.через опр. инт. и устремим в к .
Несобственным интегралом
называют предел функции верхнего предела интегрирования при его стремлении к бесконечности:
= .
Если указанный предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл существует или сходится, если конечный предел не существует – то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.
Пусть теперь промежутком интегрирования является луч .
Тогда аналогично вводится понятие несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом:
= .
Аналогично определяется несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами. В этом случае числовую ось разбивают произвольной точкой с на два луча и полагают
+ .
Если оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то сходится и несобственный интеграл в левой части, причем его значение не зависит от выбора промежуточной точки с (доказать самостоятельно).
В геометрическом смысле несобственный интеграл от неотрицательной функции равен площади неограниченной криволинейной трапеции.
Пример 1. .
Данный несобственный интеграл расходится.
Пример 2. .
Данный несобственный интеграл сходится к значению 1.
Заметим, что указанный способ нахождения несобственных интегралов можно свести к применению аналога формулы Ньютона-Лейбница:
= .
Пример 3. .
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 105 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Topical Vocabulary | | | Свойства неопределенного интеграла. |