Свойства неопределенного интеграла.

Интегральное исчисление.

§1. Первообразная. Неопределенный интеграл.

Пусть f(x) – непрерывна на некотором множестве Х.

Опр. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если ее производная равна исходной функции: .

Например, функция является первообразной для функции , т.к. . Заметим, что функция также является первообразной для этой же функции. И вообще, любая функция вида +С (где С – любое число) является первообразной для данной функции .

Теорема. Если и - первообразные для функции , то найдется такое число С, что = +С.

Док-во. . Тогда = const =С.▲

Таким образом, у всякой непрерывной функции существует бесконечно много первообразных, отличающихся на некоторое число.

Опр. Совокупность первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается . Таким образом,

,

где - некоторая первообразная данной функции f(x), С – произвольная постоянная.

f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, процесс нахождения НИ – интегрированием или взятием интеграла.

Геометрический смысл первообразной.

Пусть и - первообразные для функции .

Т.к. и , то касательные к графикам функций и параллельны в любой точке . Таким образом, графики первообразных представляют собой бесконечное семейство параллельных кривых, заполняющих всю плоскость, графики которых можно получить сдвигом на С единиц по оси Оу. Через каждую точку плоскости проходит график одной из первообразных.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Док-во. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x), тогда

ò f(x)dx = F(x) + c. Найдем производную и дифференциал от обеих частей равенства.

(ò f(x)dx) ' = (F(x) + c)' = f(x),

d (ò f(x)dx) = (ò f(x)dx) ' dx = f(x)dx.

2. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: ò d F(x) = F(x) + C.

Док-во. ò d F(x) = ò F'(x)dx= ò f(x)d x = F(x) + C.

Из свойств 1 и 2 следует, что операции дифференцирования и интегрированияявляются взаимно обратными.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

ò k f(x)dx = k ò f(x)dx.

Док-во. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x).

ò f(x)dx = F(x) + C. Умножим обе части на k.

k ò f(x)dx = k F(x) + C₁, где C₁ = k C _.

Найдем производную функции kF(x).

(k F(x))' = k f(x).

Функция k F(x) является первообразной функции k f(x). Следовательно,

ò k f(x)dx = k F(x) + C,

ò k f(x)dx = k ò f(x)dx.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Доказать самостоятельно.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1. n ¹ -1; n ¹ -1;

2. = ln ½x½ + с, = ln ½u½ + с;

3.

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. .

Эти формулы легко доказываются дифференцированием правой части.

Интегралы принято называть табличными.

Теорема1. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если функция у = f (x) имеет первообразную F(x) на множестве Х, то - первообразная для f(φ(t))φ'(t) на Т, т.е. ò f(x)dx = ò f(φ(t)) dφ(t)= ò f(φ(t))φ'(t)dt.

Док-во. Пусть x = φ (t) - некоторая непрерывная функция. По условию

ò f(x) dx = F(x) + С. Это левая часть формулы. Рассмотрим теперь, чему равна правая. (F(x))' = (F(φ(t)))' = правило диф. сложной ф-и = f(φ(t)) φ'(t),

Это значит, что F(x) является первообразной для функции f(φ(t)) φ'(t), т.е.

ò f(φ(t)) φ'(t)dt =F(x) + С. Очевидно, что обе части формулы равны.

Из теоремы следует, что в любом табличном интеграле можно заменить аргумент дифференцируемой функцией.

Дата добавления: 2015-10-30