Задачи для самостоятельного решения. Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.

Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.

1. S – параллелограмм со сторонами x =3, x =5, 3 x -2 y +4=0, 3 x -2 y +1=0.

2. Область D задана неравенствами .

3. Область D – треугольник со сторонами .

Повторный интеграл

Определение. Повторный интеграл есть приращение первообразной F (x, y) для по переменному “ y ”, проинтегрированное по переменному “ x ”, т.е.

.

Определение. Повторный интеграл есть приращение первообразной Ф (x, y) для f (x, y) по переменному “ x ”, проинтегрированное по переменному “ y ”, т.е.

= .

Пример 3. Вычислить повторный интеграл .

Ñ ½интегрируя внутренний интеграл по “ y ”, полагаем “ x ” постоянным½=

= . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить повторные интегралы.

4. . 5. 6. . 7. , если .

Вычисление двойного интеграла в декартовых

Координатах

Теорема 14.1 Если: 1) функция f (x, y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

(2.3)

Теорема 14.2. Если:1) функция f (x, y) интегрируема в правильной в направлении Ox области , т.е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

. (2.4)

Из вышеприведенных теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Рис.14.7

Ñ Так как из (2.4) имеем , то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x= 2 -y, y =0, y =1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых и , то
, где (см. (2.1)) ,

. Итак, = = = .#

Пример 5. Вычислить по области D, ограниченной линиями и .

Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол и решаем уравнение , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках (рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)

Рис.14.8 а)

= .

Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б), то (см. (2.2)) . По формуле (2.4)

=

Рис.14.8.б

= . #

Дата добавления: 2015-10-30