Задачи для самостоятельного решения. Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы

Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по j, внутреннее - по r:

27. D – область, ограниченная окружностями , и прямыми , .

28. D - область, являющаяся общей частью двух кругов и .

29. D - меньший из двух сегментов, на которые прямая рассекает круг .

30. D - внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .

31. D: .

32. D: . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

33. D - область, ограниченная линией . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

34. . 35. . 36. .

С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы:

37. . 38. .

39. . 40. , D - часть кольца ,

, . 41. .

Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:

42. .

43. - область, ограниченная линией .

Тройные интегралы.

14.3.1. Области в пространстве.

Определение. Область назовем правильной в направлении Oz (правильной в направлении Ox, правильной в направлении Oy), если прямая, проходящая через внутреннюю точку области V параллельно оси Oz (параллельно оси Ox, параллельно оси Oy) пересекает границу области ровно в двух точках.

Область V будет правильной в направлении Oz, если существуют функции и , заданные в S и такие, что координаты точек, принадлежащих V, удовлетворяют условиям: . Тогда символически записывают:

(3.1)

Если, в свою очередь, область S - правильная в направлении Oy, то (см.(2.1))

. (3.2)

Если область S правильная в направлении Ox, то (см.(2.2))

. (3.3)

Задания.

1. Записать символически правильную в направлении Oy область , если ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть правильная область.

2. Записать символически правильную в направлении Ox область , если ее проекция на плоскость Oyz есть правильная область.

Пример 10. Область V ограничена поверхностями и z =0. Изобразить область и записать как правильную: а) в направлении Oz,

б) в направлении Ox.

Рис.14.13

Рис.14.12

Ñ Область V - круговой конус с боковой поверхностью, описываемой уравнением конической поверхности , основанием, лежащим на плоскости z =0, с вершиной в точке M (0;0;2) и осью, совпадающей с Oz (рис. 14.12).Область V - правильная во всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения имеем - уравнение окружности радиуса 2; таким образом, в основании конуса круг. а) Рассмотрим область V как правильную в направлении Oz. Из уравнения имеем . Для точек области V имеем: . Проекция области V на плоскость Oxy есть (рис. 14.13), поэтому в силу (3.1) ,где .Так как S - правильная область, то (см.(2.1)) или (см.(2.2)) . Поэтому требуемая запись будет (см. (3.2)) или (см. (3.3)) .

б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox, из уравнения имеем . Линии пересечения плоскости Oyz и конической поверхности находятся из решения системы уравнений: ; в результате имеем - прямые в плоскости Oyz. Итак, проекцией V на плоскость Oyz является область D - треугольник со сторонами z = y +2, z = – y +2, z =0 (рис. 14.14), поэтому в силу (3.1) , где .

Так как область D – правильная, то рассматривая ее как правильную в направлении Oy, имеем , а потому

Рис.14.14

#

Дата добавления: 2015-10-30