Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Формулы

(2.6)

преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область (или область ) на всю плоскость Oxy.

Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:

Фиксируя в последних формулах и , получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке и луч, исходящий из точки .

Якобиан преобразования

и формула (2.5) принимает вид:

(2.7)

Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .

В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к эллиптическим полярным координатам по формулам

, (2.8)

- постоянные, . Тогда

, (2.9)

Пример 6. Записать в полярной системе координат область S, заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Ñ Перейдем от декартовых координат x, y к полярным по формулам , . Подставим x и y в исходное неравенство, получим: или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому (или ).

В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #

Пример 7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями , , (), - постоянные, .

Ñ Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1) Þ ;

2) Þ , ;

3) Þ .

Область переходит в область

.

Рис. 14.9

Рис.14.9

В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . #

Пример 8. Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Рис.14.10

Ñ Границей области является линия или - окружность радиуса 2 с центром в точке
(рис. 14.10).

Наличие в уравнении границы комбинации наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам по формулам , , . Уравнение границы переходит в уравнение или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и - уравнение окружности. Так как всегда (по смыслу r), то из следует , отсюда получаем (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле (2.7)

. #

Пример 9. Вычислить , где .

Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями a и b, – эллипс с полуосями и , y =0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).

Рис.14.11

Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах будут: 1) , 2) , 3) ,
4) . Итак, область интегрирования в координатах есть

. Тогда

. #

Дата добавления: 2015-10-30