Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вычисление несобственных интегралов

Читайте также:
  1. В) Вычисление интервала корреляции;
  2. Векторное произведение двух векторов. Условие коллинеарности векторов. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.
  3. Выборка с группированием данных и вычислением функций агрегации
  4. Вычисление выборочных характеристик распределения
  5. Вычисление двойного интеграла
  6. Вычисление дисперсии иа основании индивидуальных значений испытуемых
  7. Вычисление длины дуги

Определенный интеграл рассматривался при следующих предположениях:

Ø отрезок интегрирования конечен,

Ø подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна.

При таких предположениях этот интеграл называется интегралом в «собственном смысле», ил «собственным» интегралом. В том же случае, когда отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называется интегралом в «несобственном смысле», или «несобственным» интегралом.

I. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода) определяются посредством предельного перехода:

,

,

,

где – произвольное вещественное число.

Замечание. При вычислении несобственных интегралов с бесконечным промежутком интегрирования часто пользуются символическим равенством

,

где .

Если существует определенный конечный предел в правой части, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция в этом случае называется интегрируемой на бесконечном промежутке.

Если же этот предел бесконечен или не существует, то интеграл называется расходящимся.

Если отыскать первообразную функцию трудно или если она в конечном виде не может быть вычислена, то существуют признаки, позволяющие решить вопрос о сходимости или расходимости несобственного интеграла.

II. Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также определяются посредством предельного перехода:

а) Если функция неограниченно возрастает, т. е. , когда , то

;

если функция неограниченно возрастает, т. е. , когда , то

.

б) Если подынтегральная функция перестает быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например , то эту точку «вырезают», а интеграл определяют в предположении, что – первообразная , так

,

где изменяются независимо друг от друга.

Если оба предела в правой части существуют и конечны при не зависящем друг от друга стремлении к нулю, то несобственный интеграл от неограниченной функции называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Задача 6.1. Найти следующие несобственные интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Пояснить решение геометрически.

1) ▲ .

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

Геометрически, в прямоугольной системе координат, всякий определенный интеграл дает алгебраическую сумму площадей, ограниченных кривой , двумя вертикальными прямыми и осью .

Поэтому, построив кривую , ее ординаты в точках , получим криволинейную трапецию , площадь которой

.

При получим трапецию с бесконечным основанием, которая имеет конечную площадь .

 
 


y

A

1

       
   


B

O 1 b x

 

2) ▲

.

Следовательно, несобственный интеграл сходится.

Геометрически интеграл от функции в пределах выражает площадь криволинейной трапеции , а данный несобственный сходящийся интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая неограниченно простирается влево и вправо и вместе с тем имеет конечную величину .

 

y

 

 

1

A B


a O 1 b x

3) ▲ ,

т. е. несобственный интеграл расходится.

       
   
 
 


y

   
 
 
 
 
 
 
 

 

 


A

 
 


B

 

 


Oε b =1 x

Геометрически полученный результат указывает, что площадь криволинейной трапеции

неограниченно возрастает. ▼

4) ▲

.

Данный несобственный интеграл сходится.

y

       
 
   

 

 


P Q

 

1

A B

ε ε

a O ε 1 η b x

 

Прямая является вертикальной асимптотой графика подынтегральной функции . Интегралы от этой функции в пределах выражают площади криволинейных трапеций . При эти трапеции неограниченно простираются вверх и вместе с тем имеют конечные площади, сумма которых равна найденному значению данного несобственного сходящегося интеграла. ▼

Решение задач II типового варианта

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

1. ▲

.

Данный несобственный интеграл сходится. ▼

2. ▲

.

Данный несобственный интеграл сходится. ▼


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 303 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. | Понятие определенного интеграла | Условия интегрируемости функций | Вычисление объемов тел вращения | ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ | History of Ukraine |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Замена переменной в определенном интеграле| Вычисление площадей плоских фигур

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.027 сек.)