Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вычисление объемов тел вращения. Телом будем называть любое ограниченное множество точек пространства.

Читайте также:
  1. Анализ структуры объемов заказов
  2. В) Вычисление интервала корреляции;
  3. Векторное произведение двух векторов. Условие коллинеарности векторов. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.
  4. Выборка с группированием данных и вычислением функций агрегации
  5. Выражение презрения через сексуальные извращения и невроз навязчивого состояния.
  6. Вычисление выборочных характеристик распределения
  7. Вычисление двойного интеграла

Телом будем называть любое ограниченное множество точек пространства.

Тело вращения – тело, полученное в результате вращения фигуры вокруг некоторой оси (оси вращения).

Объем тела вращения – аддитивная величина, следовательно, объем тела вращения можно определить с помощью определенного интеграла.

Вычисление объема в прямоугольной системе координат. Воспользуемся дифференциальным методом.

1. Найти дифференциал объема как главную часть приращения объема.

2. Определить пределы интегрирования .

3. Вычислить объем .

Дифференциал объема в прямоугольной системе координат – объем цилиндра с бесконечно малой высотой и переменным основанием.

Форма записи дифференциала объема зависит от условий задачи – от того, как задана фигура, которая в результате вращения образует тело, и что принято за ось вращения.

Ось вращения будем отмечать дугой со стрелкой

       
 
   
 

 


2. y

1. y

           
   
   
 
 
 

 


 


y

O a x a=0 dx b x

 
 


dx

 

 

. .

 

 

4. y

3. y

       
 
   
 


d

d

dy

dy

c

O x c=0 x

. .

Замечание. На всех чертежах изображено сечение тела плоскостью чертежа.

Задача 7.2.1. Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси . Найти объем тела вращения.

– полукубическая парабола, смещенная на 1 вправо по оси . – прямая.

Точки пересечения полукубической параболы и прямой:

. Построение очевидно.

y

 

B

       
 
   
 

 


O 1 2 x

dx

 

1) Имеем дифференциал объема: .

2) Пределы по чертежу: .

3) Вычислим объем: . ▼

Задача 7.2.2. Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси .

Найти объем тела вращения.

– парабола, – прямая. Точки пересечения параболы и прямой:

. Построим чертеж:

y

       
   
 
 


A

 

 
 

 


 

 

 
 


O 4 x

1) Найдем .

2) Пределы определяем из решения системы при определении точек пересечения параболы и прямой: .

3) Вычисляем объем:

. ▼

Вычисление объема при параметрическом задании линий, ограничивающих фигуру.

Задача 7.2.3. Фигура, ограниченная одной аркой циклоиды и осью вращается вокруг оси . Найти объем тела вращения.

▲ Чертеж циклоиды очевиден.

 
 


y

       
 
   
 

Odxa x

1) .

2) Пределы определяются по пределам из зависимости . Имеем

 
 

3)

.

Вычисление длин плоских кривых при различных способах задания линий


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 165 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. | Понятие определенного интеграла | Условия интегрируемости функций | Замена переменной в определенном интеграле | Вычисление несобственных интегралов | History of Ukraine |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Вычисление площадей плоских фигур| ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.012 сек.)