Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вычисление площадей плоских фигур

Читайте также:
  1. Аниме: Пропорции фигуры человека
  2. В) Вычисление интервала корреляции;
  3. Векторное произведение двух векторов. Условие коллинеарности векторов. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.
  4. Вопрос: назовите троих ваших любимых фигуристов всех времён, и почему именно они?A: During my rise in the skating world, I have looked up to several skaters.
  5. Выборка с группированием данных и вычислением функций агрегации
  6. Вычисление выборочных характеристик распределения
  7. Вычисление двойного интеграла

Плоской фигурой будем называть любое ограниченное множество точек плоскости.

Так как площадь – аддитивная величина, то ее можно вычислить с помощью определенного интеграла.

Воспользуемся дифференциальным методом.

1. Найти дифференциал площади .

2. Определить пределы интегрирования .

3. Вычислить площадь .

Перед решением задачи на вычисление площадей необходим чертеж, для построения которого нужно исследовать поведение функции или воспользоваться тем, что вид графика известен, и построить линию по нескольким точка

Вычисление площади в прямоугольной системе координат. Дифференциал площади в прямоугольной системе координат – площадь прямоугольника с бесконечно малым основанием и переменной высотой. Форма записи дифференциала зависит от способа задания фигуры, от условий задачи.

Пусть – прямоугольная декартова система координат. Фигуры будем задавать с помощью неравенств или систем неравенств.

Определение. Область называется правильной (стандартной) относительно оси , если любая горизонтальная (вертикальная) прямая пересекает границу области не более чем в двух точках.

Если область правильная относительно осей , то она просто называется правильной областью.

Условимся дальше области, правильные относительно оси , штриховать линиями, параллельными оси .

y

 
 

 

 


 


O a dx b x

 

 

Область правильная относительно оси .

Если область , правильная относительно оси , проектируется на ось в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: нижнюю границу области, задаваемую уравнением и верхнюю, задаваемую уравнением .

Тогда область определяется системой неравенств

а площадь вычисляется по формуле

.

y

 

d

                 
     
 
     

 


dy

           
     
 
 


c

 
 

 


O x

Область правильная относительно оси .

Если область , правильная относительно оси , проектируется на ось в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: левую границу области, задаваемую уравнением и правую, задаваемую уравнением . В этом случае область определяется системой неравенств

а площадь вычисляется по формуле

.

Задача 7.1.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

– парабола; – прямые линии.

Найдем точки пересечения данных линий:

Построение очевидно.

 
 


y

B

 

 
 

 


A

O dx C x

Найдем .

Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств

. ▼

Замечание. Единицы измерения площадей всюду опускаются (для простоты).

Задача 7.1.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

– парабола, которая строится по трем точкам: вершина определяется из условия .

.

Точки пересечения с осью : .

– прямая, которая строится по двум точкам, в качестве которых возьмем точки пересечения данных линий:

.

 
 


y

C 10

 

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 


4

 

 

                   
   
   
 
   
 
       
 
 
 
   
 
 

 

 


 


–2 O dx 2 B x

 

 

A D

1) Имеем: .

2) Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств

3) . ▼

Задача 7.1.3. Найти площадь фигуры, ограниченную параболой и осью .

– парабола, которая строится по трем точкам: вершина определяется из условия .

Точки пересечения с осью :

.

 
 


y

C

 

A

dy

 

B

O x

1) Найдем .

2) Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств

3) . ▼

Задача 7.1.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

– парабола, которая строится по трем точкам: вершина определяется из условия .

.

Точки пересечения с осью :

.

– прямая, которая строится по двум точкам, в качестве которых возьмем точки пересечения данных линий:

.

 

 

y

 
 


C


A

O B 4 x

dy

 

 

–3 D

1) Имеем .

2) Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств

3) . ▼

Вычисление площадей при параметрическом задании линий, ограничивающих фигуру. В задачах такого типа последовательность действий сохраняется, чаще всего усложняется отыскание пределов.

Пусть граница плоской области фигуры – простая замкнутая кривая, заданная параметрически уравнениями , причем точка при изменении границу области так, что фигура остается слева от движущейся точки. Тогда площадь фигуры может быть вычислена по любой из следующих формул:

,

,

.

Задача 7.1.5. Найти площадь эллипса: .

▲ Чертеж очевиден.

y

 

b

 

 
 


O dx a x

 

 

1) Имеем .

2) С учетом свойств симметрии фигуры при определении пределы находим по изменению

 

 

 

3)

. ▼

Вычисление площадей в полярной системе координат. Вычисление площадей в полярной системе координат производится по дифференциальному методу без каких-либо изменений в его операциях и их последовательности.

Дифференциалом площади в полярной системе координат является площадь кругового сектора с бесконечно малым центральным углом и переменным радиусом :

.

Форма записи дифференциала площади зависит от способа задания фигуры в полярной системе координат.

I. II.

           
   
 
     
 
 

 

 


dφ dφ

       
   
 
 

β β

α α

O p O p

Задача 7.1.6. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли .

▲ Напоминаем, что в полярной системе координат чертеж строится по точкам.

Сначала выясняется, где расположена линия по признаку :

.

Затем по периодичности косинуса находим количество петель. Здесь их 2.

Находится по условию .

Построение графика очевидно.

 
 


 

 


O 2 p

 

 

 
 

 

 


Далее все операции совпадают с действиями, рассмотренными раньше.

1) .

2) Пределы по условию существования функции .

Или с учетом свойств симметрии фигуры при определении пределы находим: .

3)

Замечание. Кривые вида называются розами. Розы имеют лепестков (петель), если , и петель, если .

Например, – трехлепестковая роза, – четырехлепестковая роза.

При вычислении площадей, ограниченных розами, достаточно найти площадь одного лепестка и затем ее умножить на число лепестков.


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 280 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. | Понятие определенного интеграла | Условия интегрируемости функций | Замена переменной в определенном интеграле | ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ | History of Ukraine |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Вычисление несобственных интегралов| Вычисление объемов тел вращения

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.037 сек.)