Читайте также:
|
|
Плоской фигурой будем называть любое ограниченное множество точек плоскости.
Так как площадь – аддитивная величина, то ее можно вычислить с помощью определенного интеграла.
Воспользуемся дифференциальным методом.
1. Найти дифференциал площади .
2. Определить пределы интегрирования .
3. Вычислить площадь .
Перед решением задачи на вычисление площадей необходим чертеж, для построения которого нужно исследовать поведение функции или воспользоваться тем, что вид графика известен, и построить линию по нескольким точка
Вычисление площади в прямоугольной системе координат. Дифференциал площади в прямоугольной системе координат – площадь прямоугольника с бесконечно малым основанием и переменной высотой. Форма записи дифференциала зависит от способа задания фигуры, от условий задачи.
Пусть – прямоугольная декартова система координат. Фигуры будем задавать с помощью неравенств или систем неравенств.
Определение. Область называется правильной (стандартной) относительно оси , если любая горизонтальная (вертикальная) прямая пересекает границу области не более чем в двух точках.
Если область правильная относительно осей , то она просто называется правильной областью.
Условимся дальше области, правильные относительно оси , штриховать линиями, параллельными оси .
y
O a dx b x
Область правильная относительно оси .
Если область , правильная относительно оси , проектируется на ось в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: нижнюю границу области, задаваемую уравнением и верхнюю, задаваемую уравнением .
Тогда область определяется системой неравенств
а площадь вычисляется по формуле
.
y
d
dy
c
O x
Область правильная относительно оси .
Если область , правильная относительно оси , проектируется на ось в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: левую границу области, задаваемую уравнением и правую, задаваемую уравнением . В этом случае область определяется системой неравенств
а площадь вычисляется по формуле
.
Задача 7.1.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
▲ – парабола; – прямые линии.
Найдем точки пересечения данных линий:
Построение очевидно.
y
B
A
O dx C x
Найдем .
Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств
. ▼
Замечание. Единицы измерения площадей всюду опускаются (для простоты).
Задача 7.1.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
▲ – парабола, которая строится по трем точкам: вершина определяется из условия .
.
Точки пересечения с осью : .
– прямая, которая строится по двум точкам, в качестве которых возьмем точки пересечения данных линий:
.
y
C 10
4
–2 O dx 2 B x
A D
1) Имеем: .
2) Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств
3) . ▼
Задача 7.1.3. Найти площадь фигуры, ограниченную параболой и осью .
▲ – парабола, которая строится по трем точкам: вершина определяется из условия .
Точки пересечения с осью :
.
y
C
A
dy
B
O x
1) Найдем .
2) Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств
3) . ▼
Задача 7.1.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
▲ – парабола, которая строится по трем точкам: вершина определяется из условия .
.
Точки пересечения с осью :
.
– прямая, которая строится по двум точкам, в качестве которых возьмем точки пересечения данных линий:
.
y
C
A
O B 4 x
dy
–3 D
1) Имеем .
2) Область , правильная относительно оси , определяется системой неравенств
3) . ▼
Вычисление площадей при параметрическом задании линий, ограничивающих фигуру. В задачах такого типа последовательность действий сохраняется, чаще всего усложняется отыскание пределов.
Пусть граница плоской области фигуры – простая замкнутая кривая, заданная параметрически уравнениями , причем точка при изменении границу области так, что фигура остается слева от движущейся точки. Тогда площадь фигуры может быть вычислена по любой из следующих формул:
,
,
.
Задача 7.1.5. Найти площадь эллипса: .
▲ Чертеж очевиден.
y
b
O dx a x
1) Имеем .
2) С учетом свойств симметрии фигуры при определении пределы находим по изменению
3)
. ▼
Вычисление площадей в полярной системе координат. Вычисление площадей в полярной системе координат производится по дифференциальному методу без каких-либо изменений в его операциях и их последовательности.
Дифференциалом площади в полярной системе координат является площадь кругового сектора с бесконечно малым центральным углом и переменным радиусом :
.
Форма записи дифференциала площади зависит от способа задания фигуры в полярной системе координат.
I. II.
dφ dφ
β β
α α
O p O p
Задача 7.1.6. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли .
▲ Напоминаем, что в полярной системе координат чертеж строится по точкам.
Сначала выясняется, где расположена линия по признаку :
.
Затем по периодичности косинуса находим количество петель. Здесь их 2.
Находится по условию .
Построение графика очевидно.
O 2 p
Далее все операции совпадают с действиями, рассмотренными раньше.
1) .
2) Пределы по условию существования функции .
Или с учетом свойств симметрии фигуры при определении пределы находим: .
3)
Замечание. Кривые вида называются розами. Розы имеют лепестков (петель), если , и петель, если .
Например, – трехлепестковая роза, – четырехлепестковая роза.
При вычислении площадей, ограниченных розами, достаточно найти площадь одного лепестка и затем ее умножить на число лепестков.
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 280 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Вычисление несобственных интегралов | | | Вычисление объемов тел вращения |