Вычисление длины дуги

1. Явное задание кривой. В этом случае кривая задается в виде , , и длина ее дуги равна L= .

2. Кривая в полярных координатах. Уравнение кривой имеет в этом случае вид и длина ее дуги равна L= .

3. Параметрическое задании кривой. Пусть функции x (t) и y (t) имеют на отрезке непрерывныепроизводные и . Тогда длина дуги кривой

L= .

Пример. Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

лежащей между точками O(0;0) (соответствует ) и A(2 a;0) (соответствует ).

Для функций f₁(t)=a(t-sint) и f₂(t)=a(1-cost) вычислим производные:

Тогда искомая длина дуги равна

Пример. Пусть линия на плоскости с полярными координатами (r; ) задана уравнением r=a (a>0). Поскольку функция f()=a периодична с периодом , достаточно рассматривать только значения аргумента , при которых выражение неотрицательно. Кривая имеет вид, изображённый на следующем рисунке.

Найдём длину этой линии.

Имеем

Поэтому искомая длина равна

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в пространстве задано тело. Пусть построены его сечения плоскостями, перпендикулярными оси и проходящими через точки x на ней. Площадь фигуры, образующейся в сечении, зависит от точки х, определяющей плоскость сечения. Пусть эта зависимость известна и задана непрерывной на функцией . Тогда объем части тела, находящейся между плоскостями х=а и х=в вычисляется по формуле

Пример. Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса : , горизонтальной плоскостью и наклонной плоскостью z=2y и лежащего выше горизонтальной плоскости .

Очевидно, что рассматриваемое тело проектируется на ось в отрезок , а при x поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетами y и z=2y, где y можно выразить через x из уравнения цилиндра:

Поэтому площадь S(x) поперечного сечения такова:

Применяя формулу, находим объём тела :

Дата добавления: 2015-10-30