Читайте также:
|
|
Пусть снова взято разбиение отрезка . на части , где i=1,2…n. Приближённо заменим площадь под графиком y=f(x), лежащую над промежутком разбиения , на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть f(xi-1)и f(xi) (см. рис.5).
Рис.5.
Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,
Суммируя все площади Si, получаем квадратурную формулу трапеций:
Это та же формула, что была получена при комбинировании формул левых и правых прямоугольников, в которой мы обозначали правую часть через Irl.
Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции Si достаточно вычислить значение функции f лишь в одной новой точке — в правом конце xi очередного промежутка , поскольку точка xi-1 была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено при нахождении площади предыдущей трапеции.
Если все отрезки разбиения выбираются одинаковой длины , то формула трапеций приобретает вид
Все значения функции f(xi), кроме f(x0)=f(a) и f(xn)=f(b), встречаются в этой формуле по два раза. Поэтому, объединяя равные слагаемые, мы можем записать формулу трапеций в виде
где xi=a+ih, i=1,…,n-1.
Пусть функция f(x) имеет вторую производную f//(x), сохраняющую знак на интервале (a;b). Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки этой квадратурной формулы таков: если f//(x)<0, то есть если график y=f(x) является выпуклым кверху, то I>IT, значит, ; если же f//(x)>0 и график имеет выпуклость книзу, то I<IT и .
Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибок и противоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того, чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую величину имеют эти ошибки и в зависимости от выбора шага . Эти оценки ошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого значения интеграла.
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 149 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Использование понятия определенного интеграла в экономике | | | Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников |