Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Квадратурная формула трапеций

Читайте также:
  1. D8.22 Формула оценки топливной эффективности
  2. Ақша мен валюта бағамының тепе-теңдік формуласы. Ол үшін келесі формулалар мен түсініктерді анықтайық.
  3. Барометрична формула
  4. Глава 8. Формула, которая будет творить для вас чудеса.
  5. Еркін электр тербелістері.Тербелмелі контур.Томсон формуласы.
  6. Жұқа линзадағы нәрсенің кескіні. Линза формуласы.
  7. ЖИТЬ ОДНИМ ДНЕМ, НО ВИДЕТЬ ВПЕРЕДИ ЦЕЛЬ - ВОЛШЕБНАЯ ФОРМУЛА

Пусть снова взято разбиение отрезка . на части , где i=1,2…n. Приближённо заменим площадь под графиком y=f(x), лежащую над промежутком разбиения , на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть f(xi-1)и f(xi) (см. рис.5).

Рис.5.

Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,

Суммируя все площади Si, получаем квадратурную формулу трапеций:

Это та же формула, что была получена при комбинировании формул левых и правых прямоугольников, в которой мы обозначали правую часть через Irl.

Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции Si достаточно вычислить значение функции f лишь в одной новой точке — в правом конце xi очередного промежутка , поскольку точка xi-1 была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено при нахождении площади предыдущей трапеции.

Если все отрезки разбиения выбираются одинаковой длины , то формула трапеций приобретает вид

Все значения функции f(xi), кроме f(x0)=f(a) и f(xn)=f(b), встречаются в этой формуле по два раза. Поэтому, объединяя равные слагаемые, мы можем записать формулу трапеций в виде

где xi=a+ih, i=1,…,n-1.

Пусть функция f(x) имеет вторую производную f//(x), сохраняющую знак на интервале (a;b). Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки этой квадратурной формулы таков: если f//(x)<0, то есть если график y=f(x) является выпуклым кверху, то I>IT, значит, ; если же f//(x)>0 и график имеет выпуклость книзу, то I<IT и .

Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибок и противоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того, чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую величину имеют эти ошибки и в зависимости от выбора шага . Эти оценки ошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого значения интеграла.

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 149 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Метод введения новой переменной | Метод интегрирования по частям. | Интегрирование рациональных функций | Интегрирование тригонометрических функций | Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл | Вычисление площадей плоских фигур | Вычисление длины дуги | Вычисление объемов тел вращения | Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики | Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Использование понятия определенного интеграла в экономике| Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)