Метод введения новой переменной

Методическое пособие

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

ОРЕЛ 2009

УДК

Рецензенты:

А.Г. Филонов — кандидат физико-математических наук, профессор,;

И.И. Зубова — кандидат педагогических наук, доцент кафедры физики Орловского государственного аграрного Университета.

Уварова, М.Н., Павлова Т.А. Неопределенный и определенный интегралы. Приложения определенного интеграла: м етодическое пособие / М.Н. Уварова, Т.А. Павлова. /.Изд. 1-е. — Орел: изд-во «Картуш», 2009. —___с.

ISBN

Печатается по решению методической комиссии факультета гуманитарных и естественнонаучных дисциплин Орел ГАУ (протокол №____)

Предлагаемое методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов, а также преподавателей при проведении лекционных и практических занятий по математике.

Содержание

Введение. 4

Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. 5

Метод введения новой переменной. 10

Метод интегрирования по частям. 13

Интегрирование рациональных функций. 16

Интегрирование тригонометрических функций. 21

Интегрирование иррациональных функций. 25

Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл. 30

Свойства определенного интеграла. 32

Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. 33

Вычисление определенных интегралов. 35

Несобственные интегралы.. 36

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 36

Несобственные интегралы от неограниченных функций. 37

Приложения определенного интеграла. 38

Геометрические приложения определенного интеграла. 38

Вычисление площадей плоских фигур. 38

Вычисление длины дуги. 40

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений. 42

Вычисление объемов тел вращения. 43

Площадь поверхности вращения. 44

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. 45

Использование понятия определенного интеграла в экономике. 51

Тест 1. 54

Тест 2. 55

Тест 3. 56

Набор заданий для выполнения расчетно-графической работы.. 65

Формулы. Справочный материал. 87

Литература. 98

Введение

Методическое пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов инженерных и экономических специальностей. Оно полезно при подготовке к модулю по данной теме, решении расчетно-графической работы, а также вырабатывать умение применять полученные знания при решении задач прикладного характера.

Цель данного методического пособия является активизация процесса обучения и повышение его эффективности.

Каждая тема включает в себя необходимый теоретический материал, который сопровождается большим количеством примеров с решениями, а также задачи и вопросы для самоконтроля. При работе с пособием следует обратить внимание на рекомендации. Их необходимо изучить и использовать при решении задач.

Знаком * отмечены задания повышенной сложности.

Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование

Понятие интеграла (наряду с понятиями производной и дифференциала) является фундаментальным понятием математического анализа. Возникновение этого понятия связано с необходимостью решать задачи на вычисление площадей фигур, длин кривых, объемов тел, работы переменной силы и т. д., а также находить функции по их производным.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство .

Примеры.

1. F(x) = sin x является первообразной для f(x) = cos x на множестве , так как для любого .

2. Если , то , так как .

Если F(x) есть одна из первообразных для функции f(x), то любая функция семейства F(x)+C, где С – постоянное число, является первообразной для f(x).

Очевидно, что верно и обратное: каждая функция, первообразная для f(x), может быть представлена в этой форме.

Определение 2. Если F(x) – первообразная для f(x), то выражение F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается:

f(x)dx = F(x) + C (1)

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, произведение f(x)dx — подынтегральным выражением, x — переменной интегрирования.

Заметим, что символ f(x)dx ввел в 1675 году знаменитый немецкий математик Г. В. Лейбниц (1646 – 1716).

Примеры.

1. 2. 3. .

Рекомендация. Проверка правильности результата интегрирования осуществляется дифференцированием последнего. После дифференцирования должна получаться подынтегральная функция.

Таблица основных интегралов

I.

II.

III.

IV. .

V.

VI. < .

VII.

VIII.

IX. .

X.

XI.

XII.

XIII.

Обоснование формул может быть произведено одним и тем же путем: достаточно убедиться, что производная правой части равна подынтегральной функции левой части.

Важно таблицу основных интегралов, как и таблицу производных основных элементарных функций, знать наизусть.

Простейшие правила интегрирования

А. где а=const, т.е. постоянный множитель, можно выносить за знак интеграла.

В. т.е. интеграл от алгебраической суммы функций, равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

С.

Вычисление интегралов путем использования таблиц основных интегралов и указанных правил называется непосредственным интегрированием.

Найти интегралы.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Примеры.

1.

Представляем каждое слагаемое в виде степени и интегрируем сумму степеней:

.

2.

Представим дробь в виде суммы и интегрируем:

3.

Возведем разность в квадрат и затем интегрируем:

Найти интегралы.

9.

10.

11. , (a,b,c – постоянные).

12.

Метод непосредственного интегрирования требует определенных навыков в преобразованиях подынтегральных функций.

Примеры.

1.

Числитель дроби представим в виде разности кубов, дробь сократим.

.

2.

Прибавим и вычтем в числителе и представим в виде суммы двух слагаемых:

3.

Так как , то

Заметим, что возможно и другое решение. Так как , то

,

поэтому

(Применили табличный интеграл VII и правило С.)

Как видим, при решении одного и того же примера могут получаться разные формы ответов. Но оба они являются правильными, что легко проверить дифференцированием.

Найти интегралы.

13.

14.

15.

16.

17.

Сравните ответы и подынтегральные функции примеров 13 и 17.

В таблице интегралов предполагалось, что х есть независимая переменная. Однако эта таблица полностью сохраняется, если х заменить любой функцией от независимой переменной. Интеграл запишется так:

,

где — дифференцируемая функция.

Выбирая различным образом функцию , мы можем расширить область применения таблицы интегралов.

Пример.

Из формулы XI следует:

Заменяя здесь х на , получим , т.е.

.

Аналогично , т.е. .

На этом основано решение интегралов подведением под знак дифференциала.

Примеры:

1. .

Заметим, что , помножим на 3, а интеграл – на 1/3. Получим

2. .

Чтобы воспользоваться формулой XIII, выполним преобразования:

.

3. .

Найдем , помножим в подынтегральном выражении на 3, а интеграл на 1/3:

.

Заметим, что тот же результат следует из правила С.

Найти интегралы.

18.

19.

20.

21.

22.

Вопросы и задания для самоконтроля*

1. Приведите 5 примеров к определениям 1 и 2.

2. Найдите первообразную для функции при х<0.

3. Докажите формулы II и III.

4. Объясните, почему функция arcsin x и –arccos x имеют одинаковые производные?

5. *Для всякой ли функции существует первообразная или неопределенный интеграл?

6. *Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?

7. Запишите таблицу основных интегралов I – XIII для случая сложной функции.

Метод введения новой переменной

Существуют два основных метода интегрирования: подстановка и «по частям».

Введение новой переменной в неопределенном интеграле производится двумя способами:

1) если , где - дифференцируемая функция, то

2) если где - монотонная, дифференцируемая функция новой переменной t, то .

Примеры.

1.

Полагаем, находим получим:

2.

Полагаем, отсюда

Следовательно,

Найти интегралы:

23.

24.

25.

26.

27.

Если подынтегральное выражение можно представить в виде дроби, в числителе которой стоит дифференциал знаменателя, т.е. дроби вида: то интеграл можно вычислить по формуле:

Примеры.

1.

Найдем дифференциал знаменателя: ; сравним полученный результат с числителем. Очевидно, что числитель надо помножить на 2; чтобы дробь не изменилась, помножим на 2 и знаменатель, получим:

2.

Найдем В числителе стоит дифференциал знаменателя, поэтому получим:

Рекомендация. Если подынтегральная функция – дробь, то надо проверить, не является ли числитель дифференциалом знаменателя.

Найти интегралы:

28. ,

29. ,

30. ,

31. ,

32. ,

33. ,

34. ,

35. .

В заданиях 31-35 после выполнения соответствующей замены в знаменателе появляется выражение вида , содержащее полный квадрат. Это делает возможным применение одной из формул VIII, IX, XII, XIII.

В случае, если знаменатель содержит квадратный трехчлен общего вида следует сначала выделить полный квадрат. Напомним, как это делается.

,

.

Примеры

1.

Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

Полагая получим:

(Применили табличный интеграл IX).

2.

Так как подынтегральное выражение – дробь, то проверим, не является ли числитель дифференциалом знаменателя. Найдем

Чтобы выделить это выражение в числителе, выполним следующие преобразования:

Заметим, что первый интеграл – табличный (III); для второго преобразуем знаменатель:

;

затем, полагая , найдем dx=dt и подставим в интеграл:

.

(Применяя табличный интеграл XII).

3. .

Преобразуем подкоренное выражение:

и, полагая х+3=u, dx=du, получим:

.

(Применена формула XIII).

4.

Преобразуем подкоренное выражение:

Найти интегралы:

36.

37.

38.

39.

40.

Вопросы и задания для самоконтроля.

1. Докажите формулы: XIV.

XV.

2. В чем отличие формул VIII и XIII таблицы интегралов?

3. Проведите вычисление интегралов в общем виде:

4. Объясните, почему в методе подстановки требуют, чтобы функция

была монотонной и дифференцируемой?

5. Найдите интегралы (если нет затруднений, можно устно):

Дата добавления: 2015-10-30