Задачи для самостоятельного решения. Найти векторные линии плоских векторных полей:

Найти векторные линии плоских векторных полей:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. .

Найти векторные линии:

6. ; 7. , где ;

8. ; 9. , ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. , где -постоянные векторы.

Найти векторные линии, проходящие через заданную точку:

14. , ; 15. , .

Вычислить поток векторного поля, используя поверхностный интеграл первого рода:

16. , (S): верхняя сторона треугольника, ограниченного плоскостями , .

17. , (S): внешняя сторона параболоида , ограниченного плоскостью ;

18. , : боковая поверхность кругового цилиндра , ограниченного плоскостями ;

19. , (S): внешняя сторона части параболоида , расположенной в первом октанте;

20. , (S): полная поверхность конуса , ограниченного плоскостью ;

21. , (S): замкнутая поверхность, ограниченная параболоидом и плоскостью z = 0;

22. , (S): полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями , , , ;

23. , (S): сфера .

Вычислить поток, используя метод проектирования на все три координатные плоскости.

24. , (S): верхняя сторона круга, вырезанного конусом на плоскости

25. , (S): верхняя сторона треугольника, полученного пересечением плоскости с координатными плоскостями;

26. , (S): часть плоскости , ограниченная окружностью , в направлении орта .

Определить поток поля, используя формулу Гаусса-Остроградского:

27. , (S): произвольная кусочно гладкая замкнутая поверхность;

28. , (S): поверхность куба , , ;

29. , (S): сфера ;

30. , (S): часть параболоида , отсекаемая плоскостью ; в отрицательную сторону оси Ox;

31. , (S): поверхность тела , , ,

;

32. , (S): поверхность тела , ;

33. , (S): ;

34. ;

35. .

Найти линейный интеграл вектора на плоскости:

36. верхняя половина эллипса от точки A (a,0), до точки B (- a,0);

37. а) отрезок прямой OB; б) дуга параболы ; в) дуга параболы ; г) ломаная OAB, где A (1,0); д) ломаная OCB, где C (0,1);

38.

39. от точки (-1, 1) до точки (2, 2).

Вычислить линейный интеграл:

40.

41. , отрезок прямой от точки (1,1,1) до точки (4,4,4);

42.

43.

44. отрезок прямой от точки (0,0,0) до точки (1,1,1).

45. Дана напряженность силового поля. Найти работу поля при перемещении массы m вдоль одного витка винтовой линии , из точки в точку B (t =2p);

46. Силовое поле образовано силой, равной по величине расстоянию от начала координат до точки ее приложения и направленной к началу координат. Найти работу поля по перемещению единицы массы вдоль дуги параболы от точки с абсциссой до точки с абсциссой .

В задачах 47- 51 найти циркуляцию поля:

47. в отрицательном направлении;

48. замкнутая линия, образованная отрезками осей координат Ox и Oy и другой астроиды , , лежащей в первом квадранте;

49.

50.

51. линия пересечения параболоида с координатными плоскостями (в первом октанте);

52. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, если плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (циркуляция рассматривается в направлении вращения).

53. Найти работу поля при перемещении точки единичной массы вдоль замкнутой линии, состоящей из трех прямолинейных отрезков, лежащих в координатных плоскостях, отсекающих на осях координат отрезки, равные единице.

Найти дивергенцию нижеследующих полей:

54. . При какой функции будет ?

55. ; 56. - линейная скорость точек вращающейся жидкости - угловая скорость);

57. напряженность магнитного поля, J, – постоянные;

58. ; 59. ;

60. Вычислить в точке (1,-1,1).

Найти поток векторного поля через указанные замкнутые поверхности: 1) непосредственно, 2) по теореме Гаусса-Остроградского в векторной формулировке:

61.

62.

63.

64. ;

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

В задачах 73 и 74 вычислить ротор указанных векторных полей:

73. 74.

75. Показать, что если координаты вектора имеют непрерывные частные производные второго порядка, то .

76. Показать, что если и - постоянные векторы, то .

77. Показать, что .

78. Показать, что .

79. Показать, что векторное поле является безвихревым.

80. Показать, что ротор поля линейных скоростей точек вращающегося твердого тела есть постоянный вектор, направленный параллельно оси вращения, модуль которого равен удвоенной угловой скорости вращения: .

81. Какова должна быть функция , чтобы ротор векторного поля совпадал с вектором ?

Найти циркуляцию поля по указанным контурам 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса в векторной формулировке:

82.

83.

84. по контуру, образованному пересечением плоскости с координатными плоскостями;

85.

86.

87.

88.

89.

90.

Дата добавления: 2015-10-30