Окружность

Московский государственный технический университет радиотехники,

Электроники и автоматики (МИРЭА)

Кафедра высшей математики

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Н.А.Фаркова

Кривые и поверхности второго порядка

Москва

УДК 517.53

Кривые и поверхности второго порядка. Учебный материал по курсу “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” для студентов.

Составитель Н.А.Фаркова. – Московский государственный технический университе радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА), 25 с.

Кривые второго порядка

При сечение прямого кругового двуполостного конуса плоскостями получаются кривые, называемые коническими сечениями. В восьмитомном труде «Коника» Апполоний (около 200 г. до н.э.) предложил называть коническое сечение эллипсом, параболой или гиперболой в зависимости от того, пересекает ли плоскость все образующие лишь по одной полости конуса, параллельна ли она одной образующей, или пересекает обе его полости.

С созданием Декартом в 17 в. координатного метода стереометрическое определение конических сечений было заменено планиметрическими определениями этих кривых как множеств точек на плоскости.

Окружность

Множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром, называется окружностью.

В декартовых координатах уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

(1.1)

(см. рис.1.1. а)).

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке C (x₀, y₀)

(1.2)

(см. рис.1.1. б)).

Рис. 1.1

В параметрической форме окружность (рис.1.1, б) задается уравнениями:

здесь t – угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси Ox.

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть M – точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Тогда , где а – const. Если

F₁F₂ =2 a, то , то есть . Выберем систему координат так, что точка О находится в середине отрезка F₁F₂ и ось направлена от F₁ к F₂.

Тогда

Отсюда получается каноническое уравнение эллипса:

(1.3)

Рис. 1.2

где Числа и называются полуосями эллипса. В случае эллипс превращается в окружность.

Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом так как .

Расстояния от произвольной точки эллипса до его фокусов F₁ и F₂ вычисляются по формулам

(так что ).

Директрисы эллипса имеют уравнения и соответственно. Обозначим через d₁ и d₂ расстояния от точки M до директрис и соответственно. Точка M лежит на эллипсе тогда и только тогда, когда

,

т.е. отношение расстояния от точки M до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид

(1.4)

Дата добавления: 2015-07-11