Окружность. Определение.Окружностью называется геометрическое место точек плоскости

Читайте также:

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема. Окружность радиуса с центром в точке М ₀(х ₀, у ₀) имеет уравнение

(1)

Доказательство. Пусть М (х, у) -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние ММ ₀ равно , т.е. , где

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в

квадрат получим эквивалентное уравнение

Если в данном уравнении раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к каноническому виду (1). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным и у.

Пример. Нарисуйте кривую .

Решение. Сгруппируем .

Выд елим полные квадраты, получим .

Отсюда , .

Тогда каноническое уравнение имеет вид: .

Итак, центр окружности – М ₀(1,-3), радиус равен 2.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F ₁и F ₂ той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная и равная 2 а.

Начало О системы координат расположим на середине отрезка F ₁ F ₂. Координаты фокусов F ₁(-с,0), F ₂(с,0). Тогда расстояние между фокусамиравно : | F ₁ F ₂|=2c.

Ось направим вдоль этого отрезка, ось Oy -- перпендикулярно к этому отрезку.

Теорема. В выбранной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение

(2), где или

Доказательство. Пусть М (х, у) -- текущая точка эллипса. По определению эллипса F ₁ M + F ₂ M =2 а. Из треугольника F ₁ M F ₂ (рис. ниже) видно, что F ₁ M + F ₂ M > F₁F₂, то есть 2a > 2c, a > c, и поэтому число существует.

Фокусами в выбранной системе координат являются точки F ₁(-с,0), F ₂(с,0),.

Найдем расстояния F ₁ M и F ₂ M.

Тогда по определению эллипса

Перенесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:

После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению

Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат

Раскроем скобку и приведем подобные члены

Учитывая, что , имеем равенство

Наконец, разделив обе части на , получим уравнение . Уравнение называется каноническим уравнением эллипса. (что и треб.доказать).

Свойства эллипса: Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением), то его осями симметрии служат оси и Оу, начало координат -- центр симметрии.

Построение эллипса. Строим две окружности с центром в точке О радиусами а и b. (a > b).Строим луч, выходящий из начала координат до пересечения с обеими окружностями. Из точек пересечения опускаем пересекающиеся лучи, параллельные координатным осям. Точка пересечения данных лучей – это очка, принадлежащая эллипсу.

Замечание. Если задано каноническое уравнение эллипса и требуется его построить, то для отображения качественных характеристик достаточно правильно отметить вершины эллипса и провести через них линию, похожую на кривую рис., выдерживая симметрию и избегая образования углов на рисунке. Если же из рисунка предполагается получать числовую информацию о координатах его точек, то тогда построение следует проводить более точно. Нужно построить по точкам верхнюю половину эллипса как график функции , взяв для построения достаточно много точек, а нижнюю половину эллипса получить, используя его симметрию. С другим способом построения эллипса можно познакомиться в курсе черчения.

Определения. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -- центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины -- малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса. . Прямые, между которыми вытянут эллипс, называются директрисами, уравнения которых .

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его вершины имеют координаты (-а,0), (а,0), (0,b), (0,-b), большая полуось равна , малая полуось равна . Величина , являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы . Эксцентриситет эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экcцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса .

Замечание 1. Уравнение (2) было получено в предположении, что F ₁и F ₂ и -- различные точки, то есть c > 0. Тогда b < a. Но кривую, определяемую уравнением, мы можем рассмотреть и в случае , (c = 0). Уравнение в этом случае после умножения на примет вид . Это -- уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как предельный вариант эллипса, когда , , или, как иногда говорят математики, окружность является "вырожденным" эллипсом, у которого фокусы совпали.

Замечание 2. Если , то фокусы лежат на оси (Оу) и имеют координаты F ₁(0,- с), F ₂(0, с), где . Эксцентриситет . Уравнения директрис

Эллипс обладает многими замечательными свойствами. Приведем без доказательства одно из них.

Свойство эллипса. Пусть F ₁, F ₂ – фокусы эллипса, -- произвольная точка на эллипсе. Тогда нормаль (перпендукуляр к касательной) к эллипсу в точке делит угол F ₁ М F ₂ пополам.

Отражение лучей света от эллипса

Данное свойство имеет достаточно простой физический смысл. Если из одного фокуса выходит в плоскости эллипса луч света, то отразившись от самого эллипса, он обязательно пройдет через другой фокус. Возьмем поверхность, образованную вращением эллипса вокруг большой оси, и будем считать, что внутри она зеркальная. В один из фокусов поместим источник света. Тогда все лучи, выходящие из источника, отражаясь от поверхности, пройдут через другой фокус, то есть освещенность в обоих фокусах будет одинаковой.

Замечание 3. Если центр эллипса лежит в точке М ₀(х ₀, у ₀), то каноническое уравнение эллипса примет вид: .