Гипербола. Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть M - точка гиперболы с фокусами F ₁ и F _2. Тогда F₁ M- F₂M =2 a, где а – const. Если F₁F₂ =2 с, то , то есть .

Выберем систему координат так, что точка О находится в середине отрезка F₁F₂ и ось направлена от F₁ к F₂. Гипербола состоит из двух ветвей и в канонической системе координат имеет вид:

Рис. 1.3 Рис. 1.4

Вершины А и В гиперболы лежат на действительной оси и ; на мнимой оси .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

. (1.5)

Числа а и b называются полуосями гиперболы.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии гиперболы, т.к. при замене на и на уравнение (2.5) не меняется.

Уравнения асимптот гиперболы (рис. 1.5) имеют вид: .

При а = b гиперболу называют равносторонней.

Форма гиперболы характеризуется ее эксцентриситетом так как .

Рис. 1.5 Рис. 1.6

Расстояния от произвольной точки гиперболы до ее фокусов F₁ и F₂ вычисляются по формулам

Для правой ветви ():

Для левой ветви ():

В обоих случаях .

Директрисы гиперболы имеют уравнения и . Обозначим через d ₁ и d₂ расстояния от точки M до директрис и соответственно. Точка M лежит на гиперболе тогда и только тогда, когда

,

т.е. отношение расстояния от точки M до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Уравнение касательной к гиперболе в точке имеет вид

Дата добавления: 2015-07-11