Гипербола. Каноническое уравнение эллипса

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, назы­ваемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂,, расстояние между ними через 2 с, а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов – через 2 а (см. рис. 1). По определению 2 а > 2 с, т. е. а > с.

Рис. 1

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .

Пусть М(х; у) – произвольная точка эллипса. Тогда, согласно опре­делению эллипса, MF₁ + MF₂, = 2а, т. е.

. (1)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (1) к более простому виду следующим образом:

Так как a > с, то а ² – с² > 0. Положим

(2)

Тогда последнее уравнение примет вид или

(3)

Можно доказать, что уравнение (3) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс – кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (3) содержит х и у только в четных степенях, поэто­му если точка (х;у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х; – у), (–х; у), (– х;– у). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки 0(0; 0), которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у = 0, находим две точки A₁(a; 0) и A₂ (– a; 0), в которых ось Ox пересекает эллипс (см. рис. 2). Положив в уравнении (3) х = 0, находим точки пе­ресечения эллипса с осью Оу: В₁ (0; b) и В₂{0;–b). Точки A₁, A₂, В₁, B₂ на­зываются вершинами эллипса. Отрез­ки A₁A₂ и В₁В_2,, а также их длины 2 а и 2 b называются соответственно боль­шой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно боль­шой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (3) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства или . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми х = ±а, у = ±b.

4. В уравнении (3) сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если | х | возрастает, то уменьшается и наоборот.

Рис. 2

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 2 (овальная замкнутая кривая).

Форма эллипса зависит от отношения . При b = а эллипс превраща­ется в окружность, уравнение эллипса (3) принимает вид х² + у ² = а². В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полу­оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой («эпсилон»):

(4)

причем 0< < 1, так как 0 < c < a. С учетом равенства (2) формулу (4) можно переписать в виде

т. е.

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс бу­дет менее сплющенным; если положить = 0, то эллипс превращается в окружность.

Рис. 3.

Пусть М(х;у) – произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₁ (см. рис. 3). Длины отрезков F₁M = r ₁ и F₂M = r₂ называются фокальными радиусами точ­ки М. Очевидно,

.

Имеют место формулы

.

Прямые называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением

Теорема 1. Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Из равенства (2) следует, что a > b. Если же a < b, то уравнение (3) определяет эл­липс, большая ось которого 2 b лежит на оси Оу, а малая ось 2а — на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F ₁(0; c) и F₂(0; – с), где

Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2 с, а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2 а. По определению 2 а < 2 с, т. е. а < с,

Рис. 4

Для вывода уравнения гиперболы выберем си­стему координат Оху так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка F₁F₂ (см. рис. 4). Тогда фокусы будут иметь координаты F₁(– c; 0) и F₂(с;0).

Пусть – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы или , т. е. . После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравне­ние гиперболы

(5)

где

. (6)

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.

1. Уравнение (5) содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки 0(0; 0), которую называют центром гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у = 0 в уравнении (5), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox: A₁(a; 0) и А₂(– а;0). Положив х=0 в (5), получаем у² = – b ², чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки A₁(a;0) и А₂(– а;0) называются вершинами гиперболы, а от­резок – действительной осью, отрезок ОА₁ = ОА₂ = а – действительной полуосью гиперболы.

Отрезок B₁B₂ (B₁B₂ = 2b), соединяющий точки B₁(0; b) и B₂ (0;- b) на­зывается мнимой осью, число b – мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гипер­болы.

3. Из уравнения (5) следует, что уменьшаемое не меньше единицы, т. е. что или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x = – a (левая ветвь гиперболы).

1. Из уравнения (5) гиперболы видно, что когда возрастает, то и воз­растает. Это следует из того,

Рис. 5

что разность сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 5 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К, если расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к ну­лю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты:

(7)

Так как прямые (7) и гипербола (5) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N, имеющей ту же абсциссу х, что и точка М(х;у) на гиперболе (см. рис. 6), и найдем разность MN между

Рис. 6

ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

.

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; чи­слитель есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка MN стремится к нулю. Так как MN боль­ше расстояния d от точки М до пря­мой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые у = ± х являются асимптотами гиперболы (5).

Рис. 7

При построении гиперболы (5) целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 7), провести прямые, проходя­щие через противоположные вершины этого прямоугольника, – асимптоты гиперболы и отметить вершины А₁ и А₂ гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы (5) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обо­значается :

Так как для гиперболы с > а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы: > 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Дей­ствительно, из равенства (6) следует, что , т. е. и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем мень­ше отношение ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,

.

Фокальные радиусы и для то­чек правой ветви гиперболы имеют вид и , а для левой и .

Прямые х = ± называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы

> 1, то < а. Это значит, что правая директриса расположе­на между центром и правой вершиной гиперболы, левая – между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса.

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а – на оси Ох.

Очевидно, что гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Дата добавления: 2015-07-11