Метод сечений на примере исследования формы эллипсоида

Читайте также:

Чаще всего метод сечений (метод параллельных плоскостей) используют при определении формы поверхности 2-ого порядка, если поверхность задана общим уравнением (2.1) и еще не приведена к каноническому виду. Однако сам метод не зависит от уравнения, которым задана поверхность. Проиллюстрируем использование метода на примере анализа эллипсоида.

Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, заданного уравнением (3.2), выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей. Ради определенности рассмотрим линии L_h пересечения эллипсоида с плоскостями

z = h, (3.4)

параллельными плоскости Оxу. Уравнение проекции L^*_h линии L_h на плоскость Оxу получается из уравнения (3.2), если положить в нем z = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид

(3.5)

Если положить

то уравнение (3.5) можно записать в виде

(3.6)

Таким образом, выясняется, что L^*_h представляет собой эллипс с полуосями а * и b *, которые могут быть вычислены по формулам (3.6). Так как L_h получается «подъемом» L^*_h на высоту h по оси Оz (см. (3.4)), то и L_h представляет собой эллипс.

Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом.

Рассмотрим на плоскости Оxу семейство эллипсов (3.6) (рис. 3.12), полуоси а* и b* которых зависят от h, и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на какую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс.

Рис. 3.12.

Метод сечений позволилполучить своего рода «карту» эллипсоида при виде на него «сверху».

Используя такие «карты» во всех трех координатных плоскостях, легко представить себе пространственный вид любой поверхности 2-ого порядка.

Общее уравнение и инварианты поверхности 2-ого порядка

Пусть поверхность S задана в декартовой системе координат уравнением:

Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то поверхность S называют поверхностью второго порядка.

Теорема 1. Для произвольной поверхности второго порядка S существует такая декартова прямоугольная система координат , что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

1) - эллипсоид,

2) - мнимый эллипсоид,

3) - однополостный гиперболоид,

4) - двуполостный гиперболоид

5) - конус,

6) - мнимый конус (точка),

7) - эллиптический параболоид,

8) - гиперболический параболоид,

9) - эллиптический цилиндр,

10) - мнимый эллиптический цилиндр,

11) - две мнимые пересекающиеся плоскости,

12) - гиперболический цилиндр,

13) - две пересекающиеся плоскости,

14) - параболический цилиндр,

15) - две параллельные плоскости,

16) - две мнимые параллельные плоскости,

17) - две совпадающие плоскости.

В этих уравнениях - положительные параметры.

Функция называется квадратичной формой, соответствующей уравнению (3.1). Характеристическим уравнением квадратичной формы называется уравнение

(3.2)

а корни уравнения (3.2) называются характеристическими числами квадратичной формы .

В общем случае характеристическое уравнение (3.2) записывается в виде

(3.3)

где

(3.4) (3.5)

(3.6)

Обозначим

, (3.7)

(3.8)

(3.9)

Значения не меняются при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой, полученной в результате поворота осей координат и переноса начала координат, то есть являются инвариантами поверхности S относительно поворота осей координат и переноса начала.

Значения и являются инвариантами поверхности S только относительно поворота осей координат

(их часто называют семиинвариантами).

Замечание 1. Для вычисления инварианта можно использовать формулу

Теорема 2. Для любой поверхности второго порядка S существуют углы и числа такие, что с помощью преобразования поворота осей и переноса начала координат