Ограниченные линейные операторы.

Опр. Пусть X,Y –НП над одним и тем же полем. Тогда отображение наз. линейным оператором, если

Опр. Пусть X и Y – НП над одним и тем же полем и линейный оператор. Оператор А наз. ограниченным, если он любое ограниченное мн-во в Х переводит в ограниченное мн-во в У.

Теорема. Тогда оператор А наз. ограниченным, если (1)

Теорема. (о связи непр-ти и ограни-ти) Линейный оператор в НП непрерывен т. и т. т., к. он ограничен.

Опр. Пусть линейный ограниченный оператор. Тогда нормой оператора А наз. число, и вычисляемое по правилу: .

Утверждение. .

Норма матрицы – это норма лин. оператора. Множество матриц фиксированного размера образуют ВП.

Конструкция пространств (мера Лебега, интеграл Лебега).

если она удовлетворяет условиям:

1) f определена на [a,b] и суммируема по Лебегу

2) интегрируема по Лебегу на [a,b] если то существенно ограничен.

Норма где ,

Понятие существенного sup. Пусть F(x) определена на [a,b]. Тогда .

27. Гильбертовы пространства. Ортогональные гильбертовы пространства.

Опр. ВП H на котором задано отображение в виде бинарной операции , , сопоставляющее каждой паре число со следующими условиями:

1)для , : - линейность по первому аргументу; 2) , (симметричность над R, эрмитова симметричность над C)

3) , причем Û наз. предгильбертовым пр-м, а само отображ. наз. скалярным произв. векторов и . При этом предгильб. пр-во принято обозн. Н.

Св-ва скал. произведения. 1) , . Док-во: . .

2) , , . Док-во:

Дата добавления: 2015-08-13