Действия с матрицами.

1) Р_тхт – ассоциативное кольцо с единственной от-но сложения и умножения матриц, т.е.

а) (А+В)+С=А+(В+С); б) $О_nxn=(0): A+ О_nxn=O+A=A;

в) "А $-А: А+(-А)=-А+А=О; г) А+В=В+А;

д) (А+В)С=АС+ВС;

е) (АВ)С=А(ВС);

ж) $ Е_n= : AE_n=A;

2) AÎP_xnx имеет обратную матрицу, если ее определитель не равен нулю, т.е. она невырожденная.

3. Решение систем лин. ур-й.

Пусть Р – поле. Системой лин. ур-й с n переменными будем наз. Систему вида

Опр. Посл-ть l₁,…,l_n наз. решением системы, если при подстановке в систему получаем верные рав-ва.

Система наз. разрешимой, если у нее есть хотя бы одно решение и неразрешимой в противном случае.

Существует 3 метода решения системы лин. уравнений:

1) метод Крамера - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

Пример.

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

2) метод Гаусса - это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

3) матричный метод. Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем).Тогда её можно переписать в матричной форме.AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно.Умножим это матричное уравнение слева на - матрицу, обратную к матрице A .

Так как A = E, получаем X = B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A.

Дата добавления: 2015-08-13