Свойства и форма эллипса

Кривые второго порядка на плоскости

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ есть постоянное число равное 2a, т.е.| F₁M | + | F₂M | =2a. Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса.

Пусть на плоскости заданы 2 точки F₁ и F₂, расстояние между которыми F₁F₂=2c- фокусное расстояние, задано число a>c.

Введем прямоугольную систему координат.

F₁(-c, 0), F₂(c, 0); т. М(x, y); F₁M= , F₂M=

;

;

a⁴-2a²cx+c²x²=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y²

a²x²-c²x²+a²y²=a⁴-a²c²

x²(a²-c²)+a²y²=a²(a²-a²c²)

т.к. a>c по условию, то a²-c²>0, a²-c²=b², b²x²+a²y²=a²b², a<>0, b<>0

Мы показали, что если точка принадлежит эллипсу, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1).

Чтобы показать, что уравнение (1) является уравнением эллипса, надо показать, что если точка

Удовлетворяет уравнению (1), то она принадлежит эллипсу, т.е. F₁N+F₂N=2a

a²-x²³0, x²£ a², |x|£ a, -a£x£ a

,

т.к. -a£x£ a, a-c>0, a>c

Аналогично,

Значит,

Свойства и форма эллипса

1. -a£x£ a, -b£y£ b, значит точки эллипса заключены в прямоугольнике x=±a, y=±b

Эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат, значит форму эллипса можно находить в первой четверти. .

В первой четверти x³0, y³0

1. x=0, y=b

2. x увеличивается, при этом y уменьшается

3. x=a, y=0

Симметрично отображая построение, получаем эллипс. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинами.

Дата добавления: 2015-08-13