Группа, кольцо, поле.

Говорят, что на мн. М опред. алг. опер., если указан закон, по кот. любой паре эл-тов аÎМ и bÎМ, взятых в опред. поряд., ставится в соотв. единств. эл-т сÎМ. Опер. в частн. мож.наз. умножением.

Опр. Мн. G, для эл. кот. опред. одна алг. опер. наз группой, если вып. след. аксиомы:

1. эта операция. ассоциативна (напр., " эл. a,b,cÎG справ. рав-во (ab)c=a(bc));

2. в G нейтральный (единичный)эл., (" aÎG ae=ea=a;)

3. Для каждого эл-та аÎG $ обратный эл-т (bÎG, что ab=ba=e.)

Если G сост. из конечн.числа эл-тов, то она наз. конечной, а число эл-тов в ней - порядком группы. Если операция., опред. в гр. G коммут.(ba=ba для "a,bÎG), то гр. наз. коммут. или абелевой.

Простейш. св-ва из опред. гр.

1. В группe лишь одна единица и для каждого элемента есть лишь один обратный элем-т.

(Пусть кроме е в G есть еще один эл. е' удовл. акс. 2. Тогда e'=e'e=e Þ e'=e. Пусть кроме b $ b' обратный эл-ту а, т.е. ab'=b'a=e Þ b'=eb'=(ba)b'=b(ab')=be=b Þ b'=b)

2. Утв. В группе ур-ия ax=b и xa=b всегда им. решение.

(Положим, x=a^-1b, тогда ax=a(a^-1b)=(aa^-1)b=eb=b. Во втором случае положим x=ba^-1, тогда xa=(ba^-1)a=b(a^-1a)=be=b x)

Примеры групп:

1. Z относит. опер. слож. (аддит.гр.)

2. Мн. чет. числ относ. опер. слож.

3. Мн. отлич. от нуля рац. действ. чисел относ. опер. умнож.

4. Мн.векторов на пл-ти относ. слож. векторов (е= 0, а^-1=- а)

Опр. Полная линейная группа GL(n, P) состоит из невырожденных квадратных матриц размера n×n над полем P.

Пусть К- некот. мн-во эл-тов с двумя опред. в нем алгебр. опер. ("+", "×")

Опр. Непустое мн. К наз. кольцом по отнош. к опер. слож. и умнож., если вып. след аксиомы:

1.К-коммут. гр. относ. опер. слож.

2. Опер. умнож. ассоциативна т.е. (ab)c=a(bc), "a,b,cÎК. 3. Слож. и умнож. связаны дистр. законом: a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca.

Если коммут. закон справедл. и для умнож. (ab=ba, "a,bÎК), то кольцо наз. коммут.

Примеры колец:

1. Мн. целых рац. и действ. чисел относ. опер. слож и умн. (коммут. кольцо)

2. Для слож. и унож. матриц n-го порядка, опред. так как в алгебре. (некоммут.)

Некоторые св-ва.

1. Т.к. кольцо явл. абелев. гр. относ. слож., то нулев. эл. единств. и для кажд. аÎ К $! (-а)

2. Ур-ие а+х=b им. ед. реш. х=-а+b, т.к. a+(-a+b)=(a-a)+b=0+b=b

3. Если в кольце $ единич. эл-т, то он единств., а также для аÎК $ -а, то (-а) $!

4. В любом кольце произведение произв. эл. на "0" равно 0, т.е. а×0=0 (обратное не верно)

Опр. Коммут. кольцо с единицей и без делит. нуля наз. целостным кольцом

Опр. Поле - коммут. кольцо с 1, в кот. для кажд. эл. отличного от 0 $ обратный ему элемент.

Св-ва полей:

1. Т.к. поле явл. частным случ. кольца, то в нем вып. все св-ва кольца.

2. В любом поле единич. и обрат. эл. единств.

3. Никакое поле не содерж. делит. нуля, т.е. если ab=0, то по крайней мере один из сомнож. =0

4. В люб. поле ур. ax=b, где а¹0 им. реш. x=b/a, т.к. а×(b/a)=b.

Изоморфизм групп, колец, полей

Опр. Гр. G и G' наз. изоморфными, если между ними можно установить такое взаим. однознач. соотв-ие, при кот. для любых эл-тов a и b из G и соот. им эл. a' и b' из G' произведение ab (либо a+b) соотв. a'b' (a'+b')

Пример: Гр. всех чет. чисел относ. слож. изоморфна гр. всех цел. чисел. относ. слож.

Опр. Кольца К и К' наз. изом., если между ними можно уст. такое вз.однознач. соотв., при кот. для любых эл-тов a и b из К и соот. им эл. a' и b' из К' сумме a+b соотв. сумма a'+b', а произв. ab соотв. a'b'.

Опр. Поля наз. изоморф., если они изом. как кольца.

Кольцо многочленов от одной переменной над полем

Многочленом над полем Р наз. выраж. a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, где все a_iÎР. x, x², …, xⁿ - степени перем. х.

Опр. Два многочл. наз. раными, если у них коэф. при одинак. степенях совп.

Опр. Суммой 2-х мн-нов f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ и g(x)= b₀+b₁x+b₂x²+…+b_kx^k наз. многочл. f(x)+g(x)= с₀+с₁x+с₂x²+…+с_nxⁿ, где n k, с_i=a_i+b_i, i= 1,n.

Опр. Произведением 2-х мн-нов f(x) и g(x) наз. мн-н f(x)g(x)=d₀+d₁x+d₂x²+…+d_n+kx^n+k, где (i=0,1,…,n+k)

В частности, d₀=a₀b₀; d₁=a₀b₁+a₁b₀; d_n+k=a_nb_k. Т.к. по усл. поле Р не содерж. делит. нуля, то a_n¹0, b_k¹0 Þ d_n+k¹0.

Дата добавления: 2015-08-13