Числовые характеристики случайных величин.

Опр5. Математическим ожиданием произвольной с.в. с функцией распределения наз:

если он сходится абсолютно, т.е. .

Для дискретной с.в.:

Пусть - закон распределения случайной величины, тогда мат. ожиданием наз. сумма ряда

если этот ряд сходится абсолютно.

Для непрерывной с.в.

,если , т.е. интеграл сходится абсолютно.(где p(x) - плотность распределения с.в. .

Математическое ожидание - конечное число.

Опр6. Дисперсией с.в. наз.:

Для дискретной с.в. с законом распределения

Для непрерывной с.в. с плотностью вероятности :

Свойства математического ожидания:

1. MC = C, C =const (постоянную C можно рассматривать как с.в. =C, вероят-ть p=1 MC = C*1)

2.

3. Если независимые с.в., то

Следствие: постоянный множитель выносится за знак м.о.:

Дисперсией с.в. наз. м.о. квадрата отклонения от его м.о.:

Свойства дисперсии:

1. DC = 0, C =const

2. (постоянный множитель выносится в квадрате за знак дисперсии)

3. Если - независимые с.в., то:

Опр7. Начальным моментом порядка k наз. м.о. с.в. в степени k

Опр8. Центральным моментом порядка k наз:

Нормальным распределением наз. распределение с.в. :

(имеет два параметра - a и )

 - средне квадратичное отклонение.

Центральная предельная теорема утверждает, что если изучаемая с.в. представляет собой сумму большого числа случайных факторов, каждый из которых оказывает на величину суммы незначительное влияние, то закон распределения этой с.в. стремится к нормальному.

30. Цепи Маркова с непрерывным и дискретным временем.

1). Опр 1. Цепью Маркова называется посл-ть испытаний в каждом из которых появляется только одно из несовместных событий полной группы , причём условная вероятность того, что в -том испытании наступит при условии, что в -ом испытании наступило событие не зависит от результатов предшествующих испытаний.

Схема Бернули является частным случаем цепи Маркова. В терминологии цепи Маркова событие принято называть состояниями системы, а испытания изменениями её состояния.

Опр 1’ Цепью Маркова называется посл-ть испытаний в каждом из которых система принимает только одно из состояний полной группы, причём условная вероятность , что в -том испытании система будет находиться в состоянии с индексом при условии, что -испытании система находится в состоянии с индексом не зависит от результатов остальных ранее произведённых испытаний.

1) Цепью Маркова с дискретным временем называется цепь изменения состояния которой происходит в определённые фиксированные моменты времени.

2) Цепью Маркова с непрерывным временем называется цепь изменение состояний которой происходит в любые случайные промежутки времени.

3) Однородной называется цепь Маркова, если условная вероятность перехода из состояния в состоянии не зависит от номера испытания .

Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния в итоге следующего испытания система перейдёт в состояние . Пусть число состояний конечно и равно . Матрицей перехода системы называют матрицу которая содержит все переходные вероятности системы

Матрица обладающая таким свойством называется стохастической.

2. Пуассоновский случайный процесс – однородная цепь Маркова с непрерывным временем.

2).Покажем, что переходные вероятности удовлетворяют уравнению Колмогорова-Четмена.

Это уравнение представляет собой формулу полной вероятности в терминах цепей Маркова.

Пусть . Пусть сделано шагов, тогда гипотеза . за оставшиеся шагов система перейдёт из состояния в конечное состояние с некоторыми вероятностями

Подставляя эти выражения в формулу полной вероятности получим.

Частные случаи уравнения , тогда , тогда

– прямое, – обратное уравнение Колмогорова-Четмена.

Пусть вероятность того, что в результате испытаний система находится в состоянии . Такие вероятности называются безусловные или абсолютные. Для них справедливы аналогичные уравнения Колмогорова-Четмена.

3). Опр.2 Пусть вероятностное пространство и -некоторое числовое множество. Действительная функция определённая при называется случайным процессом или случайной функцией, если при каждом функция является случайной величиной как функция из .

Опр 3. Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени при известном значении случайные величины при не зависят от случайных величин , где .

Таким образом, марковские процессы (процессы без последейств.) характерезуются тем, что вероятностное свойство процесса в момент определяются состоянием в момент и не зависят от состояний до . Будущее не зависит от прошлого.

Рассмотрим для наглядности марковские процессы с конечным числом состояний .

Обозначим вероятность перехода

Очевидно

Обозначим через начальное распределение вероятности - абсолютная вероятность, что в момент времени система находится в .

В силу формулы полной вероятности имеем

Т-1. Пусть переходные вероятности имеют частные производные по и . Тогда при справедливы системы уравнений

где ,

а также

Система уравнений называется прямой, а система уравнений обратной системой дифференциальных уравнений Колмагорова.

Физический смысл функций состоит в том, что есть вероятность перехода из состояния в за промежуток времени от до .

Дата добавления: 2015-08-13