Метод моментов

Опр 4 Начальным моментом порядка называется мат. ожидание в степени

Опр 5 Центральным моментом порядка называется мат. ожидание отклонения в степени

Опр 6 Начальным эмпирическим моментом порядка называется среднее значение -тых степеней вариант

Опр 7 Центральным эмпирическим моментом порядка называется среднее значение -тых степеней отклонения

Пусть независимая выборка из распределения с плотностью , где - неизвестные параметры.

Суть метода моментов состоит в приравнивании эмпирических и теоретических моментов одного и того же порядка.

Например приравняем начальный теоретический и эмпирический моменты первого порядка, и второго порядка центр. теорет с эмпирическим

Для определённых параметров и получаем систему

Оценки полученные методом моментов состоятельные, но могут быть смещёнными.

3. Метод максимального правдоподобия.

Пусть изучается с.в. для которой известна плотность вероятности , но не известно значение входящего параметра .

Функция - называется функцией правдоподобия построенной по выборке .

На функцию правдоподобия можно смотреть как на вероятность совместного осуществления событий , если считать эти события независимыми.

По методу наибольшего правдоподобия за оценку параметра принимается такое значение при котором достигает максимума.

Часто вместо функции рассматривается , т.к. они достигают максимума при одном и том же значении , то уравнение правдоподобия может быть записано в виде .

Т 1 При выполнении условий 1,2,3 уравнение правдоподобия имеет решение , которое при сходится по вероятности к . Эта оценка наибольшего правдоподобия асимптотически нормальна и асимптотически эффективна:

1) пусть параметр изменяется в пределах и истинное значение параметра лежит внутри этого интервала. Пусть в этом интервале существуют производные ;

2) условие нормировки можно дважды дифференцировать под знаком интеграла, так что

3) ,

, где мат. Ожидание , где не зависит от .

4. Метод наименьших квадратов.

Изложим данный метод на примере регрессионного анализа. Пусть изучаются взаимосвязанные между собой. случайные величины и . Регрессионный анализ строит функцию зависимости . Пусть вид зависимости линейный , тогда для нахождения коэффициентов и применяется метод наименьших квадратов.

Строится функция выборка

Перейдём к средним величинам

Коэффициент - называется выборочным коэффициентом корреляции. Он служит для оценки тесноты зависимости между и .

Этот метод даёт несмещённые, состоятельные, эффективные оценки неизвестных параметров.

Дата добавления: 2015-08-13