Метод простой итерации реш. СЛАУ и его сходимость.

Рассмотрим систему алгебраических линейных урвнений, записанную в виде: , (1)

где , , .

Метод ростой итерации:

приближения считаются следующим образом:

(2)

Теорема: Метод простой итерации сходится при любом начальном приближении , если какая-либо норма матрицы , согласованная с векторной нормой, меньше .

Норма матрицы и векторная норма называются согласованными, когда и существует , на котором достигается равенство.

Теорема: Для того, чтобы метод протой итерации сх-ся необх. и достат. чтобы все собственные значения м-цы по модулю были меньше еденицы.

Метод Ньютона: Рассмотрим уравнение с одним неизвестным (1) Это уравнение можно привести к виду:

(2).

Если уравнение (1) имеет на корень, а функция непрерывна и сохраняет знак на , то уравнения (1) и (2) раносильны на .

Если взять , то получим равносильное уравнение (3)

Метод простой итерации приобретёт вид

(4)

Метод с расчетной формулой (4) называется методом Ньютона или методом касательных

Исследуем его на сходимость. Уравнение имеет корень на . Обозначим . Очевидно, что . Значит, сущ. отрезок , содержащий т. и число такой, что , , т.е. выполняются достат. условия сх-ти метода простой итерации.

Утв. Метод Ньютона имеет квадратический характер сходимости.

Дата добавления: 2015-08-13