Элементы диф. геометрии кривых и поверхностей.

О. Параметризация наз. гладкой (регулярной) класса , когда выполняются условия: 1) ;

2)

О. Элементарная кривая наз. гладкой (регулярной) класса , если она обладает гладкой (регулярной) параметризацией класса .

О. Если то параметризация называется натуральной, а параметр t—натуральным (обычно обозначаем S). С точностью до знака параметр S равен длине дуги кривой, заключённой между текущей точкой кривой и некоторой фиксированной точкой (для неё S=0).

О. Ур-ние наз. векторно-параметрическое ур-ние элементарной кривой , а ур-ния - скалярными параметрическими ур-ниями в соответствующих координатах.

Если кривая расположена в некоторой пл-ти, то она называется плоской кривой.

О. Касательной прямой T кривой g наз. предельное положение её секущей, проходящей через т. P и некоторую т.Q кривой , причём т.Q двигаясь по неограниченно приближается к т. P.

Т. 1. Регулярная кривая g в каждой своей точке P имеет единственную касательную прямую T.

2. Если некоторая допустимая параметризация гладкой кривой , то векторно-параметрическое ур-ние её касательной прямой T в т. P может быть записано в виде где параметр в т.касания P относительно параметризации , радиус-вектор текущей точки касательной прямой Т, - его параметр.

О. Нормалью кривой в её точке наз. прямая, которая проходит через эту точку перпендикулярно касательной прямой до кривой в этой точке. Нормаль обозначается через N.

О. Нормальная пл. пространственной кривой в её точке наз. пл., которая проходит через этот пункт и перпендикулярна касательной прямой до кривой проведённой в этой же точке.

О. Касательной плоскостью кривой в её точке Р наз. произвольная плоскость, которая проходит через касательную прямую Т кривой в т.Р.

О. Бирегулярной кривой (дважды гладкой) наз. эл.к. , которая допускает так называемую бирегулярную параметризацию и . Это значит, что кроме того, что гл. парам. кривая класса , дополнительно выполняется условие (т.о. не коллинеарные, ненулевые в каждой точке кривой ).

О. Соприкасающей плоскостью бирегулярной кривой в её точке Р наз. плоскость , которая проходит через т.Р параллельно векторам вычисленных в этой точке.

О. Сопровождающим трехгранником кривой в точке P наз. трехгранный угол с вершиной в т.P и прямыми плоскими углами, рёбра которого лежат на касательной прямой T, бинормали B и главной нормали N, а грани в соприкасающейся плоскости , нормальной пл-ти , спрямляющей пл-ти .

Направляющим вектором касательной прямой T явл-ся вектор причём он (т.е. нормаль пл. )

Направляющим вектором бинормали B явл-ся вектор нормаль пл. .

Направляющим вектором главной нормали N явл-ся вектор - нормаль пл. .

Формулы Френе выражают собой закон движения СТ вдоль g.

О. Ф-лы Френе представляют собой разложение по натуральному параметру S векторов канонического базиса по этому базису .

Т. Пусть , где натуральная параметризация, тогда имею место формулы где .

О. Тройка векторов - натуральный репер параметризованной кривой.

О. Кривизной кривой g называют угловую скорость вращения касательной прямой T (мгновенная угловая скорость) при движении вдоль кривой g точки касания (по отношению к длине дуги).

, где DS- длина дуги PQ, DS- угол между касательными в т.P и т. Q.

О. Кручение кривой g- есть мгновенная угловая скорость бинормали B вдоль кривой g

.

Т. Пусть произвольная допустимая параметризация регулярной кривой g класса , тогда в т.Р(t)

Т. Пусть произвольная допустимая параметризация бирегулярной кривой g класса , тогда в т.Р(t)

Т. Кривая g класса нулевой кривизны есть прямая или её часть (обратное тоже верно).

Т. Кривая g класса нулевого кручения является плоской (обратное тоже верно).

О. Зависимости , кривизны и кручения от натуральных параметров s точек кривой наз. натуральными уравнениями этой кривой.

Т. (основная теорема теории кривых) Пусть заданы две произвольные непрерывные ф-ции , причём , тогда существует единственная (с точностью до положения в пр-ве) кривая , для которой при соответствующем выборе её натуральной параметризации натуральные уравнения будут выглядеть следующим образом , . Это значит - ф-ция кривизны, а – ф-ция кручения.

О. Касательной плоскостью к поверхности Г (г.э.п.) в её т.Р наз. плоскость Т, которая проходит, через т.Р и содержит касательные прямые ко всем кривым на поверхности Г, которые проходят через эту точку.

Т. Всякая регулярная (гладкая) э.п. Г в каждой точке имеет касательную плоскость Т и причём только одну. Когда , допустимая параметризация поверхности Г, тогда нормальным вектором касательной плоскости Т в т. Р с внутренними координатами является вектор ()

О. Нормалью поверхности Г в её т.Р наз. прямая n, которая проходит через т.Р и перпендикулярна касательной плоскости Т поверхности Г в т. Р.

Утверждение. Каждая гладкая поверхность в каждой своей точке имеет нормаль n и причём только одну. Когда , допустимая параметризация поверхности Г, тогда является направляющим вектором нормали n параметризованной поверхности в точке .

О. Первой квадратичной формой гладкой параметризованной поверхности в т. , называется величина (её наз. римановой метрикой, основной или фундаментальной квадратичной формой).

Геометрический смысл формы выражается равенством . Т.е. с точностью до бесконечно малых 2-го порядка относительно есть расстояние от т. до точки на поверхности . ds - линейный элемент поверхности в т. .

Явный вид формы в гауссовых координатах u, v имеет вид: где

О. Выражение называется дискриминантом формы . точке регулярной поверхности (т.к. ).

Применение: 1) Длина дуги гладкой эл. параметризованной кривой g на гладкой эл. параметризованной пов-ти находится по формуле .

2) Косинус угла j между гладкими кривыми на гладкой эл. параметризованной пов-ти (в точке их пересечения)

, где –коэф. вычисленные в точке ,

– дифференциалы внутренних координат в т. вычисленные в направлении кривой , – вычисленные в направлении кривой .

3) Площадь области на гладкой параметризованной поверхности находится по формуле:

, где прообраз области в плоскости параметров .

Внутренняя геометрия поверхности. Для определения длины кривой на поверхности со­вершенно не нужно знать, что из себя представляет поверхность. Достаточно знать ее первую квадратичную форму. Это же отно­сится и к углу между кривыми. Площади фигур на поверхности тоже могут быть найдены только по коэффициентам E, F и G. Го­ворят, что первая квадратичная форма отвечает завнутреннюю геометрию поверхности.

Внутренняя геометрия поверхности изучает те свой­ства поверхностей и фигур на них, которые не ме­няются при изгибаниях. С этой точки зрения вся пла­ниметрия представляет собой внутреннюю геометрию плоскости. Это вполне согласуется с тем обычным представлением, что в планиметрии изучаются свой­ства фигур, не меняющиеся при изометриях плоско­сти, т. е. наложениях.

О. Второй квадратичной формой ГПП класса , наз. выражение .

Замечание. Форму можно переписать по-другому .

В Гауссовых координатах: где С помощью определяется степень искривленности поверхности.

О. Нормальная кривизна кривой в точке наз. величина .

О. Наименьшую и наибольшую нормальные кривизны поверхности в т.Р наз. её главными кривизнами () в этой точке, а направления, в которых достигаются главные кривизны, наз.главными направлениями.

Уравнение наз. характеристическим уравнением для нахождения главных кривизн. В неомбилической точке оно имеет два корня - наименьшую и наибольшую нормальные кривизны ()

О. Направление в т. наз. главным, когда нормальная кривизна вычисленная в нём достигает экстремального значения или по-другому является главным (или или ).

Когда , главные направления в т. , а - главные кривизны в нём, то ,

.

Как правило, в каждой точке пов-ти имеется две главные кривизны .

Если главные кривизны в точке Р различны , то главные направления определены однозначно и они перпендикулярны друг другу. Если же главные кривизны равны , то любое направление будет главным.

О. Гауссовой (или полной) кривизной пов-ти Г в её точке Р наз. произведение К её главных кривизн вычисленных в этой точке:

О. Средней кривизной пов-ти Г в её точке Р наз. полу сумма Н её главных кривизн вычисленных в этой точке .

Т. (egregium Гаусса) Полная кривизна К поверхности может быть выражена исключительно через коэффициенты первой квадратичной формы этой поверхности, так как и согласно К равно его правой части. Т.о. К – величина внутренней геометрии поверхности.

О. Точка Р пов. наз. эллиптической, если в этой точке .

О. Точка Р пов. наз. гиперболической, если в этой точке .

О. Точка Р пов. наз. параболической, если в этой точке .

Дата добавления: 2015-08-13